Descreva explicitamente uma transformação linear de R^3 em R^3 que tem sua imagem gerada pelos vetores (1, 0, -1) e (1, 2, 0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descrever uma transformação linear de R^3 para R^3 cuja imagem (ou conjunto de todas as saídas possíveis) é gerada pelos vetores (1, 0, -1) e (1, 2, 0). Para isso, precisamos saber que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Vamos precisar construir uma matriz cujas colunas sejam combinações desses vetores.

Passo 2

Uma transformação linear pode ser representada por uma matriz A de tamanho . A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A. Queremos que esse espaço seja gerado por (1, 0, -1) e (1, 2, 0). Isso significa que as colunas de A devem ser combinações lineares desses vetores.

Passo 3

Para simplificar, podemos escolher que as duas primeiras colunas de A sejam exatamente os vetores dados. Assim, a primeira coluna será (1, 0, -1) e a segunda coluna será (1, 2, 0). A terceira coluna pode ser qualquer combinação linear desses vetores, ou até mesmo o vetor zero, para garantir que a imagem não aumente.

Passo 4

Vamos escolher a terceira coluna como o vetor zero (0, 0, 0). Isso mantém a imagem gerada apenas pelos dois vetores fornecidos. Assim, a matriz A fica:

Resposta

Uma transformação linear que satisfaz as condições é dada pela matriz

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