Descreva explicitamente uma transformação linear de
que tem sua imagem gerada pelos vetores
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descrever uma transformação linear de
para
cuja imagem (ou conjunto de todas as saídas possíveis) é gerada pelos vetores
e
. Para isso, precisamos saber que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Vamos precisar construir uma matriz cujas colunas sejam combinações desses vetores.
Passo 2
Uma transformação linear
pode ser representada por uma matriz
de tamanho
. A imagem de
é o espaço gerado pelas colunas de
. Queremos que esse espaço seja gerado por
e
. Isso significa que as colunas de
devem ser combinações lineares desses vetores.
Passo 3
Para simplificar, podemos escolher que as duas primeiras colunas de
sejam exatamente os vetores dados. Assim, a primeira coluna será
e a segunda coluna será
. A terceira coluna pode ser qualquer combinação linear desses vetores, ou até mesmo o vetor zero, para garantir que a imagem não aumente.
Passo 4
Vamos escolher a terceira coluna como o vetor zero
. Isso mantém a imagem gerada apenas pelos dois vetores fornecidos. Assim, a matriz
fica:
Resposta
Uma transformação linear que satisfaz as condições é dada pela matriz