Encontre a derivada direcional da função dada, no ponto e direção u indicados. f(x, y, z) = ln(x^2 + y^2 + z^2), (x0, y0, z0) = (1, 3, 2) e u = i - j + k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função e normalizar o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Matemáticamente, é representado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente da função é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado :
Calculando o denominador:
Então:

Passo 4

Precisamos agora normalizar o vetor direção . Um vetor unitário tem comprimento 1 e é encontrado dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo. O módulo de é:
Então, o vetor unitário é:

Passo 5

A derivada direcional de na direção de no ponto é dada pelo produto escalar do gradiente nesse ponto com o vetor unitário na direção de :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção de é 0.

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