Encontre a derivada direcional da função dada, no ponto e direção
indicados.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função e normalizar o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Matemáticamente, é representado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente da função é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado
:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 4
Precisamos agora normalizar o vetor direção
. Um vetor unitário tem comprimento 1 e é encontrado dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo. O módulo de
é:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 5
A derivada direcional de
na direção de
no ponto
é dada pelo produto escalar do gradiente nesse ponto com o vetor unitário na direção de
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto
na direção de
é 0.