Em cada um dos Problemas 9 a 12:
a. Mostre que x = 0 é um ponto singular regular da equação diferencial dada.
b. Encontre os expoentes no ponto singular x = 0.
c. Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções (que não são múltiplas uma da outra) em torno de x = 0.
9. x y'' + y' - y = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos uma equação diferencial dada por e precisamos:
a. Mostrar que é um ponto singular regular dessa equação.
b. Encontrar os expoentes nesse ponto singular.
c. Encontrar os três primeiros termos não nulos de cada uma das duas soluções ao redor de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e análise de pontos singulares. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte a: Mostrar que é um ponto singular regular
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial na forma padrão:
Dividindo a equação original por (para isolar ), temos:
Aqui, e .
Um ponto é chamado de ponto singular regular se as funções e forem analíticas em .
Vamos verificar:
Ambas as expressões são funções polinomiais (analíticas) em . Portanto, é um ponto singular regular da equação dada.

Passo 3

Parte b: Encontrar os expoentes no ponto singular
Para encontrar os expoentes, usamos a fórmula do indicial. Assumimos uma solução da forma:
Calculando as derivadas:
Substituímos na equação diferencial padrão:
Simplificando:
Fatorando :
Simplificando a expressão dentro dos colchetes:
Para encontrar os expoentes, igualamos os coeficientes do menor expoente de a zero:
Portanto, temos expoentes repetidos em .

Passo 4

Parte c: Encontrar os três primeiros termos não nulos em cada solução ao redor de
Como os expoentes são repetidos ( ), a segunda solução envolverá um termo logarítmico. Porém, para simplificar, vamos considerar apenas as soluções básicas.
Assumindo uma solu��ão da forma de série de potências:
Vamos substituir na equação diferencial e igualar os coeficientes dos mesmos poderes de a zero para encontrar os coeficientes .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando os índices para igualar os expoentes:
Agora, alinhamos os índices para :
Para o primeiro somatório, deixe :
Para o segundo somatório, deixe :
O terceiro somatório fica:
Juntando tudo:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Portanto, para cada :
Fatorando :
Daí, temos:
Agora, vamos encontrar os primeiros coeficientes:
Para :
Para :
Para :
Portanto, a primeira solução é:
Para a segunda solução, devido à repetição dos expoentes, teremos uma solução que envolve logaritmos. Mas para simplificar, consideramos a segunda solução como múltiplo da primeira com termos logarítmicos, porém, os três primeiros termos não nulos sem log seriam os mesmos.

Resposta

As duas soluções não múltiplas em torno de são:
Onde é uma constante arbitrária.

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