Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para definir o raio e o intervalo de convergência da série . A gente vai usar o conceito de séries de potências e testar até onde essa série “funciona” ou converge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre raio de convergência e intervalo de convergência, além de aplicar o teste da razão, que é super útil nesse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz o quanto o valor de pode variar para que a série continue convergindo. Já o intervalo de convergência é o conjunto de valores de para os quais a série converge.
Passo 3
Vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste funciona assim: a gente calcula o limite quando tende ao infinito de . Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Passo 4
No nosso caso, a série é an+1an = (n+1)!7^n+1 cdot 7^nn! = (n+1) cdot n!7 cdot 7^n cdot 7^nn! = n+17 . Aqui, . Vamos calcular :
Passo 5
Agora, aplicamos o limite:
limn to infty | n+17 | = limn to infty n+17 = infty
Como o limite é infinito, o teste da razão nos diz que a série diverge para qualquer valor de diferente de zero.
Passo 6
Então, o único valor de para o qual a série pode convergir é . Isso significa que o raio de convergência é zero e o intervalo de convergência é apenas o ponto .
Resposta
O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é apenas .