lim (x, y) (1,0) x sin yx^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) (1,0) x sin yx^2+1
Aqui, a gente está lidando com cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam perto do ponto e usar algumas propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o que acontece com cada parte da função quando se aproxima de .
  • Numerador ( ): Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0, porque . Já está se aproximando de 1.
  • Denominador ( ): Quando se aproxima de 1, se aproxima de , então se aproxima de 2.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite separando as partes:
lim (x, y) (1,0) x sin yx^2+1 = lim (x, y) (1,0) x cdot lim (x, y) (1,0) sin ylim (x, y) (1,0) x^2+1
Aqui, usamos a propriedade de que o limite do produto é o produto dos limites, desde que existam.

Passo 4

Calculando cada limite individualmente:

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão original:
1 cdot 02 = 02 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

Em cada um dos Problemas 9 a 12:
a. Mostre que x = 0 é um ponto singular regular da equação diferencial dada.
b. Encontre os expoentes no ponto singular x = 0.
c. Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções (que não são múltiplas uma da outra) em torno de x = 0.
9. x y'' + y' - y = 0
Em cada situação abaixo, dados os dois pontos P1 e P2, encontre a distância entre os pontos e a equação da reta que passa por eles.
P1(1/2, 0), P2(0, -1).
Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: sum n!7^n x^n.
Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: sum x^nln n.