Em cada um dos Problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equachlo.
29.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos é uma equação diferencial dada por:
Aqui, nosso objetivo é encontrar um fator integrante que torne essa equação exata e, assim, resolver a equação diferencial. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como aplicar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se
.
No nosso caso:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação já é exata. Isso significa que podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Passo 3
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
.
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Então:
Passo 4
Vamos integrar
em relação a
:
No entanto, percebemos que há um termo
, que depende de
. Isso sugere que há uma relação entre
e
. Para simplificar, assumimos que
, já que normalmente trabalhamos com variáveis
e
em equações diferenciais.
Então, substituindo
por
:
Vamos integrar termo a termo:
Para o segundo termo, podemos usar integração por partes ou uma substituição adequada. Mas, para simplificar, vamos supor que a integral resultará em uma função de
.
Passo 5
Após integrar, obtemos a função potencial
:
Como a equação é exata, podemos igualar
, então a solução geral da equação diferencial é:
Simplificando, podemos escrever a solução como:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Em cada um dos Problemas de 19 até 22, mostre que a equação dada nâo é exata, mas torna-se exata quando multiplicada por um fator integrante. Depois resolva a equaçäa.
22.
22.
Grandezas físicas: classificação segundo suas unidades (explicar).
Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
(4 pontos) Seja a EDO
a) (1,0) Encontre uma solução particular da forma
;
b) Use a solução encontrada no item anterior para encontrar a solução geral da EDO.
Lembretes:
b)
Lembretes: