(4 pontos) Seja a EDO
d^3 yd x^3-y=3 sen x-cos x
a) (1,0) Encontre uma solução particular da forma yP(x)=A sen x+B cos x;
b) (3,0) Use a solução encontrada no item anterior para encontrar a solução geral da EDO.
Lembretes: lim x 0 sen xx=1
l integrallim x 0^x 0 x^3 sen(n x) d x=-x^3 cos (n x)x=1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A equação diferencial que você trouxe é:
d^3 yd x^3 - y = 3 sin x - cos x
Essa é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem, ou seja, envolve derivadas até a terceira. Para resolver, a gente vai precisar usar técnicas de solução de EDOs lineares com coeficientes constantes. No item a), a gente precisa encontrar uma solução particular assumindo que ela tem a forma , onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução particular é da forma:
yP(x) = A sin x + B cos x
Agora, precisamos calcular as derivadas dessa função até a terceira ordem:
dyPdx = A cos x - B sin x
d^2 yPdx^2 = -A sin x - B cos x
d^3 yPdx^3 = -A cos x + B sin x

Passo 3

Vamos substituir essas derivadas na equação diferencial original:
d^3 yPdx^3 - yP = 3 sin x - cos x
Substituindo:
(-A cos x + B sin x) - (A sin x + B cos x) = 3 sin x - cos x
Simplificando os termos:
(-A - B) cos x + (B - A) sin x = 3 sin x - cos x
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos semelhantes:
- A - B = -1 B - A = 3

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar - A - B = -1 implies A + B = 1 (1) e B - A = 3 (2) .
Primeira equação:
A + B + B - A = 1 + 3 implies 2B = 4 implies B = 2
Segunda equação:
A + 2 = 1 implies A = -1
Agora, somamos as equações (1) e (2):
Substituindo na equação (1):

Resposta

A solução particular é:
yP(x) = - sin x + 2 cos x

Exercícios relacionados

Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
y' = (3 t^2 - 1) / (3 + 2 y)
Em cada um dos Problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equachlo.
29. e^x dx + (e^t cot(y) + 2y csc(y)) dy = 0
Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
d y/d t = t^2/(1+y^2).
Se uma função vetorial F depende tanto do espaço (x, y, z) quanto do tempo t, mostre que d F= (dr nabla) F+(partial F / partial t) d t [0,00 / 1,00]