Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
y' = (3 t^2 - 1) / (3 + 2 y)

Passo 1

Estamos resolvendo uma equação diferencial de primeira ordem:
Para resolver isso, vamos usar a técnica de separação de variáveis, que ajuda a isolar de um lado e do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar e :
Isso significa que multiplicamos ambos os lados pela diferença para conseguir separar as variáveis.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integração vai nos ajudar a encontrar as funções que satisfazem a equação.

Passo 4

Vamos calcular as integrais:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:

Passo 5

Igualando os dois lados e combinando as constantes e em uma única constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Em cada um dos Problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equachlo.
29. e^x dx + (e^t cot(y) + 2y csc(y)) dy = 0
Em cada um dos Problemas de 19 até 22, mostre que a equação dada nâo é exata, mas torna-se exata quando multiplicada por um fator integrante. Depois resolva a equaçäa.
22. (x+2) sen(y) dx + x cos(y) dy = 0, mu(x, y) = x e'
(4 pontos) Seja a EDO
d^3 yd x^3-y=3 sen x-cos x
a) (1,0) Encontre uma solução particular da forma yP(x)=A sen x+B cos x;
b) (3,0) Use a solução encontrada no item anterior para encontrar a solução geral da EDO.
Lembretes: lim x 0 sen xx=1
l integrallim x 0^x 0 x^3 sen(n x) d x=-x^3 cos (n x)x=1
Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
d y/d t = t^2/(1+y^2).