Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
11. (x^2 + y) dx + (x + e^y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas. Precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata. Depois, vamos integrar para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação diferencial:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :

Passo 4

Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 5

Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Isso implica que:

Passo 7

Integramos em relação a para encontrar :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Substituímos de volta na expressão de :

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é onde . Então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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