Em cada um dos Problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.
y' = (3x^2 - 1)(3 + 2y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial separável. Isso significa que conseguimos separar as variáveis e em lados diferentes da equação para facilitar a resolução. Vamos precisar usar o conceito de separação de variáveis e integração para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e :
Dividindo ambos os lados por , temos:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar a função .
Primeiro, integramos o lado esquerdo em relação a :
Para integrar isso, fazemos uma substituição simples. Seja , então ou . Assim, a integral fica:
Agora, integramos o lado direito em relação a :

Passo 4

Igualando as integrais de ambos os lados:
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde , que ainda é uma constante arbitrária.

Passo 5

Para resolver em termos de , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Podemos escrever como uma nova constante , então:

Passo 6

Finalmente, isolamos para obter a solução geral da equação diferencial:
Dividindo por 2:
Como é apenas outra constante, podemos renomeá-la como :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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