Em cada um dos Problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial separável. Isso significa que conseguimos separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação para facilitar a resolução. Vamos precisar usar o conceito de separação de variáveis e integração para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar a função
.
Primeiro, integramos o lado esquerdo em relação a
:
Para integrar isso, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Assim, a integral fica:
Agora, integramos o lado direito em relação a
:
Passo 4
Igualando as integrais de ambos os lados:
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde
, que ainda é uma constante arbitrária.
Passo 5
Para resolver em termos de
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Podemos escrever
como uma nova constante
, então:
Passo 6
Finalmente, isolamos
para obter a solução geral da equação diferencial:
Dividindo por 2:
Como
é apenas outra constante, podemos renomeá-la como
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: