Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para transformar a equação diferencial dada em uma com coeficientes constantes usando o método do Problema 32. Depois disso, se der certo, encontrar a solução geral da equação. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem e como transformar equações com coeficientes variáveis em equações com coeficientes constantes, se possível.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial de segunda ordem tem a forma geral:
No nosso caso, temos:
O objetivo é transformar essa equação para que e sejam constantes, ou seja, não dependam de .

Passo 3

Para tentar essa transformação, uma técnica comum é usar uma substituição da forma:
Onde é uma função que vamos escolher para simplificar a equação. Vamos derivar em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos da equação original na expressão de :
Substituindo isso na equação original:
Multiplicando tudo por para eliminar o denominador:

Passo 5

Queremos que a equação resultante tenha coeficientes constantes. Para isso, podemos escolher de tal forma que os termos que multiplicam e fiquem simplificados.
Vamos supor que satisfaça a equação:
Isso nos dá uma equação para :

Passo 6

A equação diferencial para é:
Essa é uma equação de segunda ordem com coeficientes variáveis, conhecida como a equação de Hermite quando está na forma:
No entanto, a presença de como coeficiente torna difícil encontrar uma solução geral de forma simples.

Passo 7

Devido à complexidade da equação para , podemos concluir que não é simples transformar a equação original em uma equação com coeficientes constantes usando métodos padrão.
Isso significa que, pelo método proposto, não conseguimos simplificar a equação para encontrar uma solução geral de maneira direta.

Resposta

Não é possível transformar a equação diferencial em uma com coeficientes constantes pelo método proposto, portanto, não conseguimos encontrar a solução geral usando esse método.

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a. Mostre que
Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada:
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