Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para transformar a equação diferencial dada em uma com coeficientes constantes usando o método do Problema 32. Depois disso, se der certo, encontrar a solução geral da equação. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem e como transformar equações com coeficientes variáveis em equações com coeficientes constantes, se possível.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial de segunda ordem tem a forma geral:
No nosso caso, temos:
O objetivo é transformar essa equação para que
e
sejam constantes, ou seja, não dependam de
.
Passo 3
Para tentar essa transformação, uma técnica comum é usar uma substituição da forma:
Onde
é uma função que vamos escolher para simplificar a equação. Vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
da equação original na expressão de
:
Substituindo isso na equação original:
Multiplicando tudo por
para eliminar o denominador:
Passo 5
Queremos que a equação resultante tenha coeficientes constantes. Para isso, podemos escolher
de tal forma que os termos que multiplicam
e
fiquem simplificados.
Vamos supor que
satisfaça a equação:
Isso nos dá uma equação para
:
Passo 6
A equação diferencial para
é:
Essa é uma equação de segunda ordem com coeficientes variáveis, conhecida como a equação de Hermite quando está na forma:
No entanto, a presença de
como coeficiente torna difícil encontrar uma solução geral de forma simples.
Passo 7
Devido à complexidade da equação para
, podemos concluir que não é simples transformar a equação original
em uma equação com coeficientes constantes usando métodos padrão.
Isso significa que, pelo método proposto, não conseguimos simplificar a equação para encontrar uma solução geral de maneira direta.
Resposta
Não é possível transformar a equação diferencial
em uma com coeficientes constantes pelo método proposto, portanto, não conseguimos encontrar a solução geral usando esse método.
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e
de modo que a Eq. (32) possa ser transformada em uma equação com coeficientes constantes mediante uma mudança da variável independente. Seja
a nova variável independente, com a relação entre
e
a ser especificada mais tarde.
a. Mostre que
a. Mostre que
Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada: