Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para transformar a equação diferencial dada em uma com coeficientes constantes usando o método do Problema 32 e, se der certo, encontrar a solução geral. A equação que temos é:
Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes variáveis e como transformá-las em equações com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação que temos:
Aqui, os coeficientes de e não são constantes porque dependem da variável . Para transformar isso em uma equação com coeficientes constantes, geralmente tentamos uma substituição que simplifique esses termos.

Passo 3

Uma técnica comum é usar uma substituição do tipo:
Onde é o coeficiente de na equação original. No nosso caso, . Vamos calcular essa integral:
Então, a substituição fica:

Passo 4

Agora, precisamos expressar as derivadas de em termos de . Vamos calcular e usando a substituição:
Primeiro derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Substituindo , e na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
Observamos que ainda temos termos que dependem de , mas a equação não está mais com coeficientes constantes. Isso significa que a substituição que fizemos não conseguiu transformar completamente a equação em uma com coeficientes constantes.

Passo 7

Como não conseguimos eliminar os termos dependentes de , concluímos que, pelo método do Problema 32, não é possível transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes. Portanto, não conseguimos encontrar uma solução geral usando esse método específico.

Resposta

Não é possível transformar a equação diferencial em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32, portanto não podemos encontrar sua solução geral por esse método.

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Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada:
Se for um inteiro encontre o raio de convergência da série
ãéãéãéãá
Em relação ao problema anterior (20), suponha agora que a produção seja fixada em , onde é uma constante. Quais valores de e minimizam a função custo ?