Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para transformar a equação diferencial dada em uma com coeficientes constantes usando o método do Problema 32 e, se der certo, encontrar a solução geral. A equação que temos é:
Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes variáveis e como transformá-las em equações com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação que temos:
Aqui, os coeficientes de
e
não são constantes porque dependem da variável
. Para transformar isso em uma equação com coeficientes constantes, geralmente tentamos uma substituição que simplifique esses termos.
Passo 3
Uma técnica comum é usar uma substituição do tipo:
Onde
é o coeficiente de
na equação original. No nosso caso,
. Vamos calcular essa integral:
Então, a substituição fica:
Passo 4
Agora, precisamos expressar as derivadas de
em termos de
. Vamos calcular
e
usando a substituição:
Primeiro derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Observamos que ainda temos termos que dependem de
, mas a equação não está mais com coeficientes constantes. Isso significa que a substituição que fizemos não conseguiu transformar completamente a equação em uma com coeficientes constantes.
Passo 7
Como não conseguimos eliminar os termos dependentes de
, concluímos que, pelo método do Problema 32, não é possível transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes. Portanto, não conseguimos encontrar uma solução geral usando esse método específico.
Resposta
Não é possível transformar a equação diferencial
em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32, portanto não podemos encontrar sua solução geral por esse método.
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Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada:
Se
for um inteiro encontre o raio de convergência da série
Em relação ao problema anterior (20), suponha agora que a produção seja fixada em
, onde
é uma constante. Quais valores de
e
minimizam a função custo
?