Se k for um inteiro encontre o raio de convergência da série
sumn=0^infty (n!)^k(k n)! x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o raio de convergência da série
sumn=0^infty (n!)^k(k n)! x^n
Aqui, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde essa série converge. Para isso, precisamos entender como os termos da série se comportam quando fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que diz que o raio de convergência 1R = limn to infty | an+1an | pode ser encontrado usando o limite:
No nosso caso, . Então, precisamos calcular a razão .

Passo 3

Vamos calcular essa razão:
an+1an = ((n+1)!)^k(k(n+1))!(n!)^k(k n)! = ((n+1)!)^k cdot (k n)!(n!)^k cdot (k(n+1))!
Simplificando, temos:
an+1an = ( n+11 )^k cdot 1(k n + k)(k n + k - 1)cdots(k n + 1)
Isso pode ser reescrito como:
an+1an = (n+1)^k(k n + 1)(k n + 2)cdots(k n + k)

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite quando limn to infty (n+1)^k(k n + 1)(k n + 2)cdots(k n + k) tende ao infinito:
(n+1)^k(k n)^k = ( n+1k n )^k approx ( 1k )^k quando n to infty
Para simplificar, notamos que cada termo no denominador é aproximadamente limn to infty an+1an = ( 1k )^k quando é grande. Então:
Portanto, o limite é:

Passo 5

Usando o Teste da Razão, temos que:
1R = ( 1k )^k Rightarrow R = k^k

Resposta

O raio de convergência da série é .

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