Se for um inteiro encontre o raio de convergência da série

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o raio de convergência da série
Aqui, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde essa série converge. Para isso, precisamos entender como os termos da série se comportam quando fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que diz que o raio de convergência pode ser encontrado usando o limite:
No nosso caso, . Então, precisamos calcular a razão .

Passo 3

Vamos calcular essa razão:
Simplificando, temos:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite quando tende ao infinito:
Para simplificar, notamos que cada termo no denominador é aproximadamente quando é grande. Então:
Portanto, o limite é:

Passo 5

Usando o Teste da Razão, temos que:

Resposta

O raio de convergência da série é .

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Neste problema vamos determinar condições sobre e de modo que a Eq. (32) possa ser transformada em uma equação com coeficientes constantes mediante uma mudança da variável independente. Seja a nova variável independente, com a relação entre e a ser especificada mais tarde.
a. Mostre que
Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada:
Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada:
Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada: