Neste problema vamos determinar condições sobre e de modo que a Eq. (32) possa ser transformada em uma equação com coeficientes constantes mediante uma mudança da variável independente. Seja a nova variável independente, com a relação entre e a ser especificada mais tarde.
a. Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar certas expressões envolvendo derivadas quando mudamos a variável independente. Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a regra da cadeia para derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as derivadas se comportam quando trocamos de uma variável para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos diz como ela muda quando a variável independente muda. Agora, se temos uma função que depende de , mas também queremos expressá-la em termos de uma nova variável , precisamos relacionar as derivadas em relação a e a .

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira derivada de em relação a . Aplicando a regra da cadeia, temos:
Isso significa que a taxa de variação de em relação a é igual à taxa de variação de em relação a multiplicada pela taxa de variação de em relação a .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda derivada de em relação a . Usando a regra da cadeia novamente e aplicando a derivada ao que já temos, obtemos:

Passo 5

Para derivar essa expressão, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo. Aplicando isso:

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada:
A função de produção de certa mercadoria tem valores funcionais
As quantidades de dois fatores são dadas por e , cujos preços po unidade são, respectivamente, 84 e 88 , e a quantidade produzida é dada por , cujo preço por unidade é . Determine o lucro total máximo.
Se for um inteiro encontre o raio de convergência da série
Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada: