Neste problema vamos determinar condições sobre p e q de modo que a Eq. (32) possa ser transformada em uma equação com coeficientes constantes mediante uma mudança da variável independente. Seja x=u(t) a nova variável independente, com a relação entre x e t a ser especificada mais tarde.
a. Mostre que
dydt=dxdt dydx, d^2ydt^2=(dxdt)^2 d^2ydx^2+d^2xdt^2 dydx

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar certas expressões envolvendo derivadas quando mudamos a variável independente. Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a regra da cadeia para derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as derivadas se comportam quando trocamos de uma variável para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos diz como ela muda quando a variável independente muda. Agora, se temos uma função que depende de , mas também queremos expressá-la em termos de uma nova variável , precisamos relacionar as derivadas em relação a e a .

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira derivada de dydt = dydx cdot dxdt em relação a . Aplicando a regra da cadeia, temos:
Isso significa que a taxa de variação de em relação a é igual à taxa de variação de em relação a multiplicada pela taxa de variação de em relação a .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda derivada de d^2ydt^2 = ddt(dydt) = ddt(dydx cdot dxdt) em relação a . Usando a regra da cadeia novamente e aplicando a derivada ao que já temos, obtemos:

Passo 5

Para derivar essa expressão, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo. Aplicando isso:
d^2ydt^2 = d^2ydx^2 cdot (dxdt)^2 + dydx cdot d^2xdt^2

Resposta

Portanto, mostramos que:
dydt = dxdt cdot dydx, d^2ydt^2 = (dxdt)^2 cdot d^2ydx^2 + d^2xdt^2 cdot dydx

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