Neste problema vamos determinar condições sobre
e
de modo que a Eq. (32) possa ser transformada em uma equação com coeficientes constantes mediante uma mudança da variável independente. Seja
a nova variável independente, com a relação entre
e
a ser especificada mais tarde.
a. Mostre que
a. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar certas expressões envolvendo derivadas quando mudamos a variável independente. Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a regra da cadeia para derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as derivadas se comportam quando trocamos de uma variável para outra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos diz como ela muda quando a variável independente muda. Agora, se temos uma função
que depende de
, mas também queremos expressá-la em termos de uma nova variável
, precisamos relacionar as derivadas em relação a
e a
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a primeira derivada de
em relação a
. Aplicando a regra da cadeia, temos:
Isso significa que a taxa de variação de
em relação a
é igual à taxa de variação de
em relação a
multiplicada pela taxa de variação de
em relação a
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia novamente e aplicando a derivada ao que já temos, obtemos:
Passo 5
Para derivar essa expressão, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo. Aplicando isso:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada:
A função de produção
de certa mercadoria tem valores funcionais
As quantidades de dois fatores são dadas por
e
, cujos preços po unidade são, respectivamente, 84 e 88 , e a quantidade produzida é dada por
, cujo preço por unidade é
. Determine o lucro total máximo.
Se
for um inteiro encontre o raio de convergência da série
Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada: