Em relação ao problema anterior (20), suponha agora que a produção seja fixada em P0 = b L^α K^(1-α), onde P0 é uma constante. Quais valores de L e K minimizam a função custo C(L, K) = m L + n K ?

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão fala sobre minimizar o custo de produção dado por , onde e são insumos como trabalho e capital, e e são seus respectivos custos. A produção é fixada em , com sendo uma constante. Nosso objetivo é encontrar os valores de e que minimizam esse custo dado o nível de produção.

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para encontrar os mínimos e máximos de uma função sujeita a restrições. Aqui, queremos minimizar sujeito à restrição .

Passo 3

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange :
Aqui, é o multiplicador de Lagrange que vai nos ajudar a incorporar a restrição na nossa otimização.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e e igualá-las a zero:
Essas equações nos darão o sistema para resolver e .

Passo 5

Vamos resolver as duas primeiras equações para eliminar . Dividindo a primeira equação pela segunda:
Simplificando, obtemos:
Isso nos dá uma relação entre e :
Portanto:

Passo 6

Agora, substituímos na equação da restrição:
Simplificando:

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Agora, usando a relação encontrada no Passo 5 para :
Substituindo da expressão anterior:

Resposta

Os valores que minimizam o custo são:
e

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