Em relação ao problema anterior (20), suponha agora que a produção seja fixada em
, onde
é uma constante. Quais valores de
e
minimizam a função custo
?
Passo 1
Vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão fala sobre minimizar o custo de produção dado por
, onde
e
são insumos como trabalho e capital, e
e
são seus respectivos custos. A produção é fixada em
, com
sendo uma constante. Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que minimizam esse custo dado o nível de produção.
Passo 2
Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para encontrar os mínimos e máximos de uma função sujeita a restrições. Aqui, queremos minimizar
sujeito à restrição
.
Passo 3
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange
:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange que vai nos ajudar a incorporar a restrição na nossa otimização.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
e igualá-las a zero:
Essas equações nos darão o sistema para resolver
e
.
Passo 5
Vamos resolver as duas primeiras equações para eliminar
. Dividindo a primeira equação pela segunda:
Simplificando, obtemos:
Isso nos dá uma relação entre
e
:
Portanto:
Passo 6
Agora, substituímos
na equação da restrição:
Simplificando:
Passo 7
Isolando
:
Passo 8
Agora, usando a relação encontrada no Passo 5 para
:
Substituindo
da expressão anterior:
Resposta
Os valores que minimizam o custo são:
e
Exercícios relacionados
Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada:
O raio da órbita da terra (supostamente circular) em torno do sol é de
, e a terra a percorre em 365 dias.
a) Qual a velocidade orbital da terra, em
b) Qual a aceleração radial da terra na direção do sol em m/s?
a) Qual a velocidade orbital da terra, em
b) Qual a aceleração radial da terra na direção do sol em m/s?
Um rio segue para o norte com uma velocidade de
. Um homem rema un barco, atravessando o rio, sua velocidade relativa à água é de
para leste.
a) Qual sua velocidade relativa á terra?
a) Qual sua velocidade relativa á terra?