Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução estado estacionário da equação do calor alpha^2 * u_xx = u_t, que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno.
(b) u_x(0, t) = 0 e u(L, t) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar a solução de estado estacionário da equação do calor , ou seja, a equação do calor em uma situação onde as condições não mudam com o tempo. As condições de contorno dadas são e . Vamos usar conceitos de equações diferenciais parciais e condições de contorno para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, preciso te explicar o que é uma solução de estado estacionário. Isso significa que a temperatura não está mais mudando com o tempo, ou seja, . Então, a equação do calor simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial ordinária. Como é uma constante, podemos dividir os dois lados por e obter:
Isso significa que a segunda derivada de em relação a é zero. Para encontrar , precisamos integrar essa equação duas vezes.

Passo 4

Primeira integração de :
Aqui, é uma constante de integração. Agora, integramos novamente para encontrar :
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Vamos aplicar as condições de contorno para determinar e . A primeira condição é . Como , temos:
Com isso, a função simplifica para:
Agora, aplicamos a segunda condição de contorno: . Substituindo :

Resposta

A solução de estado estacionário da equação do calor é:

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