Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução estado estacionário da equação do calor
, que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno.
(b)
e
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar a solução de estado estacionário da equação do calor
, ou seja, a equação do calor em uma situação onde as condições não mudam com o tempo. As condições de contorno dadas são
e
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais parciais e condições de contorno para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, preciso te explicar o que é uma solução de estado estacionário. Isso significa que a temperatura não está mais mudando com o tempo, ou seja,
. Então, a equação do calor
simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial ordinária. Como
é uma constante, podemos dividir os dois lados por
e obter:
Isso significa que a segunda derivada de
em relação a
é zero. Para encontrar
, precisamos integrar essa equação duas vezes.
Passo 4
Primeira integração de
:
Aqui,
é uma constante de integração. Agora, integramos novamente para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Vamos aplicar as condições de contorno para determinar
e
. A primeira condição é
. Como
, temos:
Com isso, a função
simplifica para:
Agora, aplicamos a segunda condição de contorno:
. Substituindo
:
Resposta
A solução de estado estacionário da equação do calor é: