Considere uma corda elástica de comprimento 10 cujas extremidades são fixas. A corda é colocada em movimento, sem velocidade inicial, de uma posição inicial
, supondo
encontre a função que descreve o movimento da corda em cada um dos casos abaixo:
©
©
Passo 1
Então, vamos lá! O problema fala sobre uma corda elástica de comprimento 10, com as duas pontas fixas. A gente precisa descobrir como essa corda se move ao longo do tempo, partindo de uma posição inicial específica, que é dada por
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos da equação da onda e séries de Fourier. Vamos precisar entender como a corda vibra naturalmente e decompor a posição inicial em funções que descrevem essas vibrações.
Passo 2
Primeiro, a equação que descreve o movimento da corda é a equação da onda, que no nosso caso é:
Aqui,
é a velocidade da onda na corda. Como as extremidades estão fixas, as condições de contorno são
para todo
.
Passo 3
A solução geral dessa equação pode ser obtida usando a separação de variáveis, assumindo que
. Isso leva a soluções do tipo:
Onde
são as frequências naturais da corda e
é um número inteiro positivo.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os coeficientes
e
usando as condições iniciais. A condição de posição inicial é
, então:
E a condição de velocidade inicial é
, o que implica que
para todos os
.
Passo 5
Para encontrar os coeficientes
, usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier, que para funções pares no intervalo
é:
Substituindo
:
Passo 6
Depois de calcular os
, a função que descreve o movimento da corda é:
Resposta
A função que descreve o movimento da corda é:
Onde os coeficientes
são dados por:
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, que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno.
(b) e
.
(b)
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