Considere uma corda elástica de comprimento 10 cujas extremidades são fixas. A corda é colocada em movimento, sem velocidade inicial, de uma posição inicial , supondo encontre a função que descreve o movimento da corda em cada um dos casos abaixo:
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Passo 1

Então, vamos lá! O problema fala sobre uma corda elástica de comprimento 10, com as duas pontas fixas. A gente precisa descobrir como essa corda se move ao longo do tempo, partindo de uma posição inicial específica, que é dada por . Para resolver isso, vamos usar os conceitos da equação da onda e séries de Fourier. Vamos precisar entender como a corda vibra naturalmente e decompor a posição inicial em funções que descrevem essas vibrações.

Passo 2

Primeiro, a equação que descreve o movimento da corda é a equação da onda, que no nosso caso é:
Aqui, é a velocidade da onda na corda. Como as extremidades estão fixas, as condições de contorno são para todo .

Passo 3

A solução geral dessa equação pode ser obtida usando a separação de variáveis, assumindo que . Isso leva a soluções do tipo:
Onde são as frequências naturais da corda e é um número inteiro positivo.

Passo 4

Agora, precisamos determinar os coeficientes e usando as condições iniciais. A condição de posição inicial é , então:
E a condição de velocidade inicial é , o que implica que para todos os .

Passo 5

Para encontrar os coeficientes , usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier, que para funções pares no intervalo é:
Substituindo :

Passo 6

Depois de calcular os , a função que descreve o movimento da corda é:

Resposta

A função que descreve o movimento da corda é:
Onde os coeficientes são dados por:

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(b) e .
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