Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura para todo . Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre uma expressão para a temperatura quando a distribuição de temperatura inicial na barra for igual à função dada. Suponha que .
(b)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma barra de 40 cm de comprimento, com as duas extremidades sempre mantidas na temperatura de . A temperatura inicial na barra não é constante; de a cm, a temperatura aumenta linearmente de até , e de a cm ela diminui de de volta para . Nosso objetivo é encontrar uma expressão que descreva a temperatura em qualquer ponto da barra e em qualquer tempo . Para isso, vamos usar o conteúdo de condução de calor e equações diferenciais parciais, especificamente a equação de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de calor unidimensional:
No nosso caso, foi dado que , então a equação fica:

Passo 3

As condições de contorno são que as temperaturas nas extremidades da barra são sempre , ou seja:
E a condição inicial é a distribuição de temperatura dada:

Passo 4

Para resolver isso, vamos usar a separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de :
Substituindo na equação de calor:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 5

Isso nos dá duas equações ordinárias:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Considerando as condições de contorno , temos:
A solução para com essas condições é:
e os valores próprios são:
para

Passo 7

Então, a solução geral é uma soma de todas essas soluções separadas:

Passo 8

Agora, precisamos determinar os coeficientes usando a condição inicial. Temos:
Isso é uma série de Fourier para uma função ímpar estendida periodicamente. Calculando os coeficientes :

Passo 9

Dividimos a integral em duas partes, de a e de a :
Resolvendo essas integrais (utilizando integração por partes), obtemos os valores de .

Passo 10

Finalmente, substituímos os valores de na expressão geral da solução:

Resposta

A expressão para a temperatura na barra é dada por:
onde os coeficientes são calculados pela série de Fourier da condição inicial:

Exercícios relacionados

Em cada um dos problemas a seguir, diga se as funções dadas são pares ou ímpares.
(d) .
Encontre a série de Fourrier da função dada.
©
Converta de radianos para graus. 5
Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução estado estacionário da equação do calor , que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno.
(b) e .