Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura
para todo
. Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre uma expressão para a temperatura
quando a distribuição de temperatura inicial na barra for igual à função dada. Suponha que
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma barra de 40 cm de comprimento, com as duas extremidades sempre mantidas na temperatura de
. A temperatura inicial na barra não é constante; de
a
cm, a temperatura aumenta linearmente de
até
, e de
a
cm ela diminui de
de volta para
. Nosso objetivo é encontrar uma expressão que descreva a temperatura
em qualquer ponto
da barra e em qualquer tempo
. Para isso, vamos usar o conteúdo de condução de calor e equações diferenciais parciais, especificamente a equação de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de calor unidimensional:
No nosso caso, foi dado que
, então a equação fica:
Passo 3
As condições de contorno são que as temperaturas nas extremidades da barra são sempre
, ou seja:
E a condição inicial é a distribuição de temperatura dada:
Passo 4
Para resolver isso, vamos usar a separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de
e outra que depende só de
:
Substituindo na equação de calor:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 5
Isso nos dá duas equações ordinárias:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Considerando as condições de contorno
, temos:
A solução para
com essas condições é:
e os valores próprios
são:
para
Passo 7
Então, a solução geral é uma soma de todas essas soluções separadas:
Passo 8
Agora, precisamos determinar os coeficientes
usando a condição inicial. Temos:
Isso é uma série de Fourier para uma função ímpar estendida periodicamente. Calculando os coeficientes
:
Passo 9
Dividimos a integral em duas partes, de
a
e de
a
:
Resolvendo essas integrais (utilizando integração por partes), obtemos os valores de
.
Passo 10
Finalmente, substituímos os valores de
na expressão geral da solução:
Resposta
A expressão para a temperatura
na barra é dada por:
onde os coeficientes
são calculados pela série de Fourier da condição inicial:
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas a seguir, diga se as funções dadas são pares ou ímpares.
(d) .
(d)
Encontre a série de Fourrier da função dada.
©
©
Converta de radianos para graus. 5
Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução estado estacionário da equação do calor
, que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno.
(b) e
.
(b)