Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura 0 graus para todo t > 0. Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre uma expressão para a temperatura u(x, t) quando a distribuição de temperatura inicial na barra for igual à função dada. Suponha que alpha^2 = 1.
(b) u(x, 0) = { x, se, 0 <= x <= 20; 40 - x, se, 20 <= x <= 40 }

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma barra de 40 cm de comprimento, com as duas extremidades sempre mantidas na temperatura de 0 graus. A temperatura inicial na barra não é constante; de 0 a cm, a temperatura aumenta linearmente de 0 até , e de a cm ela diminui de de volta para 0. Nosso objetivo é encontrar uma expressão que descreva a temperatura u(x, t) em qualquer ponto x da barra e em qualquer tempo . Para isso, vamos usar o conteúdo de condução de calor e equações diferenciais parciais, especificamente a equação de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de calor unidimensional:
No nosso caso, foi dado que , então a equação fica:

Passo 3

As condições de contorno são que as temperaturas nas extremidades da barra são sempre 0 graus, ou seja:
E a condição inicial é a distribuição de temperatura dada:

Passo 4

Para resolver isso, vamos usar a separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de x e outra que depende só de t:
Substituindo na equação de calor:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, lambda é uma constante de separação.

Passo 5

Isso nos dá duas equações ordinárias:
  1. Para T(t):
  1. Para :

Passo 6

Considerando as condições de contorno , temos:
A solução para com essas condições é:
e os valores próprios lambda são:
para

Passo 7

Então, a solução geral é uma soma de todas essas soluções separadas:

Passo 8

Agora, precisamos determinar os coeficientes usando a condição inicial. Temos:
Isso é uma série de Fourier para uma função ímpar estendida periodicamente. Calculando os coeficientes :

Passo 9

Dividimos a integral em duas partes, de 0 a e de a :
Resolvendo essas integrais (utilizando integração por partes), obtemos os valores de .

Passo 10

Finalmente, substituímos os valores de na expressão geral da solução:

Resposta

A expressão para a temperatura u(x, t) na barra é dada por:
onde os coeficientes são calculados pela série de Fourier da condição inicial:

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