Usando as propriedades adequadas, faça a expansão das expressões a seguir de forma a reduzi-las a produtos e somas de expressões elementares (que não podem mais ser simplificadas).
Passo 1
Então, a gente tem a expressão
e precisa expandi-la usando as propriedades dos logaritmos. Vamos usar as regras de logaritmos que permitem transformar produtos dentro do logaritmo em somas de logaritmos separados. Para isso, vamos precisar entender a propriedade do logaritmo de um produto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma das propriedades dos logaritmos diz que
. Isso significa que o logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores.
Passo 3
Aplicando essa propriedade à nossa expressão, temos:
Assim, conseguimos separar o logaritmo do produto em uma soma de logaritmos.
Passo 4
Agora, vamos simplificar
. Sabemos que 6 pode ser escrito como
, então podemos aplicar novamente a propriedade do logaritmo de um produto:
Passo 5
Sabemos que
, porque 2 elevado a 1 é igual a 2. Então:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão original, temos:
Resposta
A expressão expandida é
.