Em cada um dos Problemas 1 até 12, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine também a solução que a satisfaz. x dy/dx + 2y = sen(x)/x, y(2) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial do tipo e encontrar a solução que satisfaz a condição inicial . Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear, que é . Para isso, vamos dividir tudo por :
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um fator integrante, que é uma função que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
O que resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para :
Agora, usamos a condição inicial para encontrar :
Multiplicando os dois lados por 4:

Resposta

A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial é:

Exercícios relacionados