Em cada um dos Problemas 1 até 12, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine também a solução que a satisfaz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial do tipo e encontrar a solução que satisfaz a condição inicial
. Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear, que é
. Para isso, vamos dividir tudo por
:
Aqui, identificamos que
e .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um fator integrante, que é uma função que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
O que resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Multiplicando os dois lados por 4:
Resposta
A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial é: