Determine o volume do sólido no primeiro octante limitado por , , abaixo do plano . Verifique se o volume encontrado é coerente comparando com um sólido conhecido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos) limitado pelas superfícies , e abaixo do plano . Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o sólido:
  1. Cilindro: é a equação de um cilindro circular com raio 3, centrado no eixo .
  2. Paraboloide: é um paraboloide que abre para baixo, interceptando o eixo no ponto .
  3. Plano: é um plano horizontal acima do paraboloide.
No primeiro octante, estamos considerando apenas , e .

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração. Como estamos no primeiro octante e o cilindro tem raio 3, varia de 0 a 3 e, para cada , varia de 0 a . A altura do sólido varia do paraboloide até o plano . No entanto, como o plano está acima do paraboloide, a diferença representa a altura do sólido em cada ponto .

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla para calcular o volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Vamos primeiro integrar com relação a :
Substituindo os limites:
Simplificando:
Agora, vamos integrar isso com relação a de 0 a 3:
Essa integral pode ser resolvida usando substituições trigonométricas ou tabelas de integrais, mas para simplificar, vamos calcular o valor numérico:
Após calcular a integral, obtemos:

Resposta

O volume do sólido no primeiro octante é unidades cúbicas.

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