Determine o volume do sólido no primeiro octante limitado por
,
, abaixo do plano
. Verifique se o volume encontrado é coerente comparando com um sólido conhecido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde
,
e
são positivos) limitado pelas superfícies
,
e abaixo do plano
. Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o sólido:
- Cilindro:
é a equação de um cilindro circular com raio 3, centrado no eixo . - Paraboloide:
é um paraboloide que abre para baixo, interceptando o eixo no ponto . - Plano:
é um plano horizontal acima do paraboloide.
No primeiro octante, estamos considerando apenas
,
e
.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração. Como estamos no primeiro octante e o cilindro tem raio 3,
varia de 0 a 3 e, para cada
,
varia de 0 a
. A altura
do sólido varia do paraboloide
até o plano
. No entanto, como o plano está acima do paraboloide, a diferença
representa a altura do sólido em cada ponto
.
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla para calcular o volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Vamos primeiro integrar com relação a
:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Agora, vamos integrar isso com relação a
de 0 a 3:
Essa integral pode ser resolvida usando substituições trigonométricas ou tabelas de integrais, mas para simplificar, vamos calcular o valor numérico:
Após calcular a integral, obtemos:
Resposta
O volume do sólido no primeiro octante é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Em cada um dos Problemas 1 até 12, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine também a solução que a satisfaz.
Nos Problemas de 1 até 8 , mostre que a equação dada é homogênea e resolva a equação diferencial:
Em cada um dos Problemas 1 até 12, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine também a solução que a satisfaz.
Se
é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por
, a massa de
é definida por:
Calcule a massa do sólido dado por
sendo a densidade
.