Nos Problemas de 1 até 8 , mostre que a equação dada é homogênea e resolva a equação diferencial:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Primeiro, vamos entender o que o enunciado pede: mostrar que essa equação é homogênea e depois resolvê-la. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais de primeira ordem homogêneas. Para resolver, vamos precisar identificar a homogeneidade da equação e aplicar a substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se ela pode ser escrita na forma , ou seja, se a razão aparece sozinha na função.
Na nossa equação:
Vamos simplificar o lado direito dividindo cada termo por :
Observamos que a expressão depende apenas de , o que confirma que a equação é homogênea.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos resolver usando a substituição . Isso significa que .
Vamos derivar em relação a :
Substituindo e na equação original:

Passo 4

Vamos simplificar a equação resultante:
Subtraindo de ambos os lados:
Agora, isolamos :

Passo 5

A equação é uma equação diferencial simples que podemos integrar ambos os lados:
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Lembrando que fizemos a substituição , vamos agora substituir de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real.

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