Nos Problemas de 1 até 8 , mostre que a equação dada é homogênea e resolva a equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Primeiro, vamos entender o que o enunciado pede: mostrar que essa equação é homogênea e depois resolvê-la. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais de primeira ordem homogêneas. Para resolver, vamos precisar identificar a homogeneidade da equação e aplicar a substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se ela pode ser escrita na forma
, ou seja, se a razão
aparece sozinha na função.
Na nossa equação:
Vamos simplificar o lado direito dividindo cada termo por
:
Observamos que a expressão depende apenas de
, o que confirma que a equação é homogênea.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos resolver usando a substituição
. Isso significa que
.
Vamos derivar
em relação a
:
Substituindo
e
na equação original:
Passo 4
Vamos simplificar a equação resultante:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, isolamos
:
Passo 5
A equação
é uma equação diferencial simples que podemos integrar ambos os lados:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos agora substituir
de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real.
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e
. Verifique se o volume encontrado é coerente comparando com um sólido conhecido.
Em cada um dos Problemas 1 até 12, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine também a solução que a satisfaz.
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,
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