Determine o volume do sólido limitado por
e
. Verifique se o volume encontrado é coerente comparando com um sólido conhecido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o volume de um sólido limitado pelas superfícies
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, que ajudam a calcular volumes de sólidos delimitados por superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as restrições de
. Sabemos que
varia de 0 a 5, ou seja,
. Isso vai ser nosso intervalo para
.
Passo 3
Agora, para cada valor de
, precisamos determinar até onde
varia. Temos duas expressões para
:
O sólido está limitado por essas duas superfícies, então para cada
,
varia de
até
. Portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos pensar nos limites para
. Para encontrar isso, observamos a equação
. Quando
atinge o menor valor, que é
, temos:
Resolvendo para
:
Então,
varia de
a
.
Passo 5
Agora que temos todos os limites, podemos montar a integral dupla para calcular o volume
:
Passo 6
Vamos resolver a integral em etapas. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 8
Agora, a integral para o volume fica:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então
e quando
,
; quando
,
.
Então:
Passo 9
Calculando a integral:
Aplicando os limites:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas. Verificando com um sólido conhecido, como um paraboloide limitado por planos retos, confirma que o resultado está coerente.
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