Determine o volume do sólido limitado por e . Verifique se o volume encontrado é coerente comparando com um sólido conhecido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o volume de um sólido limitado pelas superfícies , , e . Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, que ajudam a calcular volumes de sólidos delimitados por superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as restrições de . Sabemos que varia de 0 a 5, ou seja, . Isso vai ser nosso intervalo para .

Passo 3

Agora, para cada valor de , precisamos determinar até onde varia. Temos duas expressões para :
O sólido está limitado por essas duas superfícies, então para cada , varia de até . Portanto, .

Passo 4

Agora, vamos pensar nos limites para . Para encontrar isso, observamos a equação . Quando atinge o menor valor, que é , temos:
Resolvendo para :
Então, varia de a .

Passo 5

Agora que temos todos os limites, podemos montar a integral dupla para calcular o volume :

Passo 6

Vamos resolver a integral em etapas. Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a :
Calculando cada parte:
Então:

Passo 8

Agora, a integral para o volume fica:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja , então e quando , ; quando , .
Então:

Passo 9

Calculando a integral:
Aplicando os limites:
Calculando os valores:
Então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas. Verificando com um sólido conhecido, como um paraboloide limitado por planos retos, confirma que o resultado está coerente.

Exercícios relacionados

Nos Problemas de 1 até 8 , mostre que a equação dada é homogênea e resolva a equação diferencial:
Em cada um dos Problemas 1 até 12, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine também a solução que a satisfaz.