Quais das sequências a_n nos convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente: a_n = n pi cos(n pi)

Passo 1

Vamos analisar a sequência . O conteúdo aqui envolve sequências numéricas e seus comportamentos de convergência ou divergência. Para resolver isso, precisamos entender como a função se comporta e como ela afeta o valor de conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, observe que alterna entre 1 e -1 dependendo se é par ou ímpar. Isso porque:
  • E assim por diante.
Portanto, podemos escrever .

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece com quando aumenta. A expressão faz com que os termos da sequência alternem entre valores positivos e negativos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante.

Passo 4

Observamos que, à medida que aumenta, o valor absoluto de também aumenta sem limite, pois está sendo multiplicado por . Isso significa que os termos da sequência estão ficando cada vez maiores em magnitude, alternando entre positivos e negativos.

Passo 5

Para determinar se a sequência converge ou diverge, verificamos o comportamento de seus termos quando tende ao infinito:
  • Se os termos se aproximam de um valor finito, a sequência converge.
  • Se os termos não se aproximam de nenhum valor específico e continuam aumentando ou alternando sem limite, a sequência diverge.
No nosso caso, não se aproxima de nenhum valor finito, pois continua aumentando em magnitude alternadamente.

Resposta

A sequência diverge.

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