Quais das sequências
nos convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente:
Passo 1
Vamos analisar a sequência
. O conteúdo aqui envolve sequências numéricas e seus comportamentos de convergência ou divergência. Para resolver isso, precisamos entender como a função
se comporta e como ela afeta o valor de
conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, observe que
alterna entre 1 e -1 dependendo se
é par ou ímpar. Isso porque:
-
-
-
- E assim por diante.
Portanto, podemos escrever
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece com
quando
aumenta. A expressão
faz com que os termos da sequência alternem entre valores positivos e negativos:
- Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante.
Passo 4
Observamos que, à medida que
aumenta, o valor absoluto de
também aumenta sem limite, pois está sendo multiplicado por
. Isso significa que os termos da sequência estão ficando cada vez maiores em magnitude, alternando entre positivos e negativos.
Passo 5
Para determinar se a sequência converge ou diverge, verificamos o comportamento de seus termos quando
tende ao infinito:
- Se os termos se aproximam de um valor finito, a sequência converge.
- Se os termos não se aproximam de nenhum valor específico e continuam aumentando ou alternando sem limite, a sequência diverge.
No nosso caso,
não se aproxima de nenhum valor finito, pois continua aumentando em magnitude alternadamente.
Resposta
A sequência
diverge.
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