Em cada um dos problemas 1 a 8, determinar os vértices
e
, os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação de uma elipse:
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre elipses, especialmente como encontrar os vértices, os focos e a excentricidade. Para isso, precisamos entender a forma padrão da equação da elipse e como ela se relaciona com esses elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão da elipse é
, onde
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 3
Vamos manipular a equação dada para chegar nessa forma:
Agora, temos a equação na forma padrão:
.
Passo 4
Identificamos os valores de
e
. Aqui,
e
. Portanto:
Como
, o eixo maior está no eixo
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Como o eixo maior está no eixo
, os vértices estão a uma distância
acima e abaixo do centro.
Assumindo que o centro da elipse é
(já que não há termos lineares em
ou
), os vértices são:
Passo 6
Para encontrar os focos, usamos a fórmula
:
Os focos também estão ao longo do eixo maior, então:
Passo 7
A excentricidade
da elipse é dada por
:
Resposta
Os vértices da elipse são
e
. Os focos estão em
e
. A excentricidade da elipse é
. O gráfico da elipse tem seu eixo maior no eixo
, estendendo-se de
a
.