Em cada um dos problemas 1 a 8, determinar os vértices A1 e A2, os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
9 x^2+5 y^2-45=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação de uma elipse: . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre elipses, especialmente como encontrar os vértices, os focos e a excentricidade. Para isso, precisamos entender a forma padrão da equação da elipse e como ela se relaciona com esses elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão da elipse é , onde é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 3

Vamos manipular a equação dada para chegar nessa forma:
9x^2 + 5y^2 - 45 = 0 Rightarrow 9x^2 + 5y^2 = 45 Rightarrow 9x^245 + 5y^245 = 1 Rightarrow x^25 + y^29 = 1
Agora, temos a equação na forma padrão: .

Passo 4

Identificamos os valores de a = raiz9 = 3 b = raiz5 approx 2,24 e . Aqui, e . Portanto:
Como , o eixo maior está no eixo .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Como o eixo maior está no eixo A1 = (0, a) = (0, 3) A2 = (0, -a) = (0, -3) , os vértices estão a uma distância acima e abaixo do centro.
Assumindo que o centro da elipse é (já que não há termos lineares em ou ), os vértices são:

Passo 6

Para encontrar os focos, usamos a fórmula c = raiz9 - 5 = raiz4 = 2 :
F1 = (0, c) = (0, 2) F2 = (0, -c) = (0, -2)
Os focos também estão ao longo do eixo maior, então:

Passo 7

A excentricidade e = 23 approx 0,6667 da elipse é dada por :

Resposta

Os vértices da elipse são e . Os focos estão em e . A excentricidade da elipse é . O gráfico da elipse tem seu eixo maior no eixo , estendendo-se de a .

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