Em cada um dos problemas 1 a 8, determinar os vértices e , os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação de uma elipse: . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre elipses, especialmente como encontrar os vértices, os focos e a excentricidade. Para isso, precisamos entender a forma padrão da equação da elipse e como ela se relaciona com esses elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão da elipse é , onde é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 3

Vamos manipular a equação dada para chegar nessa forma:
Agora, temos a equação na forma padrão: .

Passo 4

Identificamos os valores de e . Aqui, e . Portanto:
Como , o eixo maior está no eixo .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Como o eixo maior está no eixo , os vértices estão a uma distância acima e abaixo do centro.
Assumindo que o centro da elipse é (já que não há termos lineares em ou ), os vértices são:

Passo 6

Para encontrar os focos, usamos a fórmula :
Os focos também estão ao longo do eixo maior, então:

Passo 7

A excentricidade da elipse é dada por :

Resposta

Os vértices da elipse são e . Os focos estão em e . A excentricidade da elipse é . O gráfico da elipse tem seu eixo maior no eixo , estendendo-se de a .

Exercícios relacionados

Obter uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas em cada item a seguir:
focos e ; excentricidade igual a
Para cada uma das elipses a seguir, construir o gráfico, determinar os vértices e , os focos e a excentricidade:
Julgue cada ítem abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lógico ou com um contra-exemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
© (10 pontos)( ) O subconjunto de é LI;
Dois blocos sólidos de tamanhos idênticos são submersos em água. Um deles é de chumbo, e o outro de alumínio. Sobre qual dos dois corpos a força de empuxo é maior?