Julgue cada ítem abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lógico ou com um contra-exemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
© (10 pontos)( ) O subconjunto (2,1,3) ;(0,0,1),(1,5,2) de R^3 é LI;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente julgar se o subconjunto (2,1,3), (0,0,1), (1,5,2) em R^3 é linearmente independente (LI) ou não. Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e, em seguida, aplicar essa definição aos vetores fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se temos vetores v1, v2, v3, eles são LI se a equação c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 só tem a solução c1 = c2 = c3 = 0.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos nossos vetores:
c1 2 1 3 + c2 0 0 1 + c3 1 5 2 = 0 0 0
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
2c1 + 0c2 + 1c3 = 0 1c1 + 0c2 + 5c3 = 0 3c1 + 1c2 + 2c3 = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para ver se a única solução é c1 = c2 = c3 = 0. Pela primeira equação:
2c1 + c3 = 0 Rightarrow c3 = -2c1
Substituindo c3 na segunda equação:
c1 + 5(-2c1) = 0 Rightarrow c1 - 10c1 = 0 Rightarrow -9c1 = 0 Rightarrow c1 = 0
Com c1 = 0, então c3 = -2(0) = 0. Agora, vamos para a terceira equação:
3(0) + c2 + 2(0) = 0 Rightarrow c2 = 0

Passo 5

Chegamos à conclusão de que c1 = c2 = c3 = 0 é a única solução para o sistema. Isso significa que os vetores não conseguem se combinar de forma não trivial para resultar no vetor zero.

Resposta

Verdadeiro. O subconjunto é linearmente independente.

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