Para cada uma das elipses a seguir, construir o gráfico, determinar os vértices
e
, os focos e a excentricidade:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente precisa desenhar o gráfico da elipse dada pela equação
, e também encontrar os vértices
e
, os focos e a excentricidade. Para isso, vamos usar a fórmula padrão da elipse e entender alguns conceitos básicos sobre ela.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma geral da elipse é:
Onde
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor. No nosso caso, a equação é
. Vamos reescrever isso para ficar parecido com a forma padrão:
Então, percebemos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
e
:
Aqui,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor. Como
, a elipse está alongada no eixo
.
Passo 4
O centro da elipse
está na origem
, já que não há termos de deslocamento na equação original.
Passo 5
Os vértices da elipse estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo maior. Como nosso eixo maior está no eixo
, os vértices são:
Passo 6
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, os focos estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo maior:
Passo 7
A excentricidade
da elipse é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
- Vértices:
e - Focos:
e - Excentricidade:
Exercícios relacionados
(Página 241 a 242) Em cada um dos problemas 5 a 8, determinar os vértices
e
, os focos e excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
5)
5)
Escreva a equação reduzida da elipse, dados: os vértices
e excentricidade
, em que
. Os focos pertencem ao eixo
;
Obter uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas em cada item a seguir:
focos e
; excentricidade igual a
focos
Em cada um dos problemas 1 a 8, determinar os vértices
e
, os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.