Para cada uma das elipses a seguir, construir o gráfico, determinar os vértices A1 e A2, os focos e a excentricidade:
4 x^2+y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente precisa desenhar o gráfico da elipse dada pela equação , e também encontrar os vértices e , os focos e a excentricidade. Para isso, vamos usar a fórmula padrão da elipse e entender alguns conceitos básicos sobre ela.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma geral da elipse é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde x^214 + y^21 = 1 é o centro da elipse, a^2 = 1 e b^2 = 14 é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor. No nosso caso, a equação é . Vamos reescrever isso para ficar parecido com a forma padrão:
Então, percebemos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de a = raiz1 = 1 e b = raiz14 = 12 :
Aqui, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor. Como , a elipse está alongada no eixo .

Passo 4

O centro da elipse está na origem , já que não há termos de deslocamento na equação original.

Passo 5

Os vértices da elipse estão localizados a uma distância A1 = (-a, 0) = (-1, 0) do centro ao longo do eixo maior. Como nosso eixo maior está no eixo A2 = (a, 0) = (1, 0) , os vértices são:

Passo 6

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
c = raiza^2 - b^2
Substituindo os valores:
c = raiz1 - (12)^2 = raiz1 - 14 = raiz34 = raiz32
Então, os focos estão localizados a uma distância F1 = (-raiz32, 0) do centro ao longo do eixo maior:
F2 = (raiz32, 0)

Passo 7

A excentricidade e = ca da elipse é dada por:
e = raiz321 = raiz32 approx 0,866
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Excentricidade:

Exercícios relacionados