Para cada uma das elipses a seguir, construir o gráfico, determinar os vértices e , os focos e a excentricidade:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente precisa desenhar o gráfico da elipse dada pela equação , e também encontrar os vértices e , os focos e a excentricidade. Para isso, vamos usar a fórmula padrão da elipse e entender alguns conceitos básicos sobre ela.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma geral da elipse é:
Onde é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor. No nosso caso, a equação é . Vamos reescrever isso para ficar parecido com a forma padrão:
Então, percebemos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de e :
Aqui, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor. Como , a elipse está alongada no eixo .

Passo 4

O centro da elipse está na origem , já que não há termos de deslocamento na equação original.

Passo 5

Os vértices da elipse estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo maior. Como nosso eixo maior está no eixo , os vértices são:

Passo 6

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, os focos estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo maior:

Passo 7

A excentricidade da elipse é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Excentricidade:

Exercícios relacionados

(Página 241 a 242) Em cada um dos problemas 5 a 8, determinar os vértices e , os focos e excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
5)
Escreva a equação reduzida da elipse, dados: os vértices e excentricidade , em que . Os focos pertencem ao eixo ;
Obter uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas em cada item a seguir:
focos e ; excentricidade igual a
Em cada um dos problemas 1 a 8, determinar os vértices e , os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.