Obter uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas em cada item a seguir:
focos F1(-1,-3) e F2(-1,5); excentricidade igual a 23

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de elipse! A gente tem dois focos dados: e , e a excentricidade é . Vamos usar conceitos de geometria analítica para montar a equação da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Para isso, usamos a fórmula do ponto médio:
Centro ( x1 + x22, y1 + y22 )
Substituindo os valores dos focos:
Centro ( -1 + (-1)2, -3 + 52 ) = (-1, 1)

Passo 3

Agora, vamos determinar a distância entre os focos, que é 2c = 5 - (-3) = 8 implies c = 4 . Como os focos estão na vertical (mesmo valor de ), a distância entre eles é a diferença das coordenadas :

Passo 4

A excentricidade e = ca está relacionada com a = ce = 423 = 6 e o semi-eixo maior pela fórmula:
Rearranjando para encontrar :

Passo 5

Com b^2 = a^2 - c^2 encontrado, podemos determinar o semi-eixo menor b^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20 implies b = raiz20 usando a relação em uma elipse:
Substituindo os valores:

Passo 6

Como o eixo maior é vertical (porque os focos têm o mesmo (x - h)^2b^2 + (y - k)^2a^2 = 1 ), a equação padrão da elipse é:
(x + 1)^220 + (y - 1)^236 = 1
Onde é o centro da elipse. Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A equação da elipse é:
(x + 1)^220 + (y - 1)^236 = 1

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