Obter uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas em cada item a seguir:
focos e ; excentricidade igual a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de elipse! A gente tem dois focos dados: e , e a excentricidade é . Vamos usar conceitos de geometria analítica para montar a equação da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Para isso, usamos a fórmula do ponto médio:
Substituindo os valores dos focos:

Passo 3

Agora, vamos determinar a distância entre os focos, que é . Como os focos estão na vertical (mesmo valor de ), a distância entre eles é a diferença das coordenadas :

Passo 4

A excentricidade está relacionada com e o semi-eixo maior pela fórmula:
Rearranjando para encontrar :

Passo 5

Com encontrado, podemos determinar o semi-eixo menor usando a relação em uma elipse:
Substituindo os valores:

Passo 6

Como o eixo maior é vertical (porque os focos têm o mesmo ), a equação padrão da elipse é:
Onde é o centro da elipse. Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A equação da elipse é:

Exercícios relacionados

Para cada uma das elipses a seguir, construir o gráfico, determinar os vértices e , os focos e a excentricidade:
(Página 241 a 242) Em cada um dos problemas 5 a 8, determinar os vértices e , os focos e excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
5)
Em cada um dos problemas 1 a 8, determinar os vértices e , os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
Julgue cada ítem abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lógico ou com um contra-exemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
© (10 pontos)( ) O subconjunto de é LI;