Obter uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas em cada item a seguir:
focos
e
; excentricidade igual a
focos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de elipse! A gente tem dois focos dados:
e
, e a excentricidade é
. Vamos usar conceitos de geometria analítica para montar a equação da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Para isso, usamos a fórmula do ponto médio:
Substituindo os valores dos focos:
Passo 3
Agora, vamos determinar a distância entre os focos, que é
. Como os focos estão na vertical (mesmo valor de
), a distância entre eles é a diferença das coordenadas
:
Passo 4
A excentricidade
está relacionada com
e o semi-eixo maior
pela fórmula:
Rearranjando para encontrar
:
Passo 5
Com
encontrado, podemos determinar o semi-eixo menor
usando a relação em uma elipse:
Substituindo os valores:
Passo 6
Como o eixo maior é vertical (porque os focos têm o mesmo
), a equação padrão da elipse é:
Onde
é o centro da elipse. Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A equação da elipse é:
Exercícios relacionados
Para cada uma das elipses a seguir, construir o gráfico, determinar os vértices
e
, os focos e a excentricidade:
(Página 241 a 242) Em cada um dos problemas 5 a 8, determinar os vértices
e
, os focos e excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
5)
5)
Em cada um dos problemas 1 a 8, determinar os vértices
e
, os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
Julgue cada ítem abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lógico ou com um contra-exemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
© (10 pontos)( ) O subconjunto de
é LI;
© (10 pontos)( ) O subconjunto