Em cada um dos Problemas
, encontre a soluçāo geral da equaçoo diferencial dada. No Problema 9 , g é uma funç̧oo contínua arbitrária.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
no intervalo
. A matéria que a gente vai usar aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem, e vamos precisar resolver a parte homogênea da equação e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea, que é
. Para isso, vamos achar a equação característica associada, que fica assim:
Resolvendo para
:
Isso significa que as soluções serão funções trigonométricas. A solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes que a gente determina com base em condições iniciais, se tiverem.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Como o lado direito é
, que pode ser escrito como
, vamos tentar uma solução particular da forma:
onde
é uma constante que a gente precisa encontrar.
Vamos derivar
:
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Depois de simplificar e resolver para
, encontramos o valor de
que satisfaz a equação.
Passo 4
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.