Em cada um dos Problemas 4 a 9, encontre a soluçāo geral da equaçoo diferencial dada. No Problema 9 , g é uma funç̧oo contínua arbitrária.
4 y'' + y = 2 sec(t / 2), -pi < t < pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial no intervalo . A matéria que a gente vai usar aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem, e vamos precisar resolver a parte homogênea da equação e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea, que é . Para isso, vamos achar a equação característica associada, que fica assim:
Resolvendo para :
Isso significa que as soluções serão funções trigonométricas. A solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes que a gente determina com base em condições iniciais, se tiverem.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , que pode ser escrito como , vamos tentar uma solução particular da forma:
onde é uma constante que a gente precisa encontrar.
Vamos derivar :
Substituindo e suas derivadas na equação original:
Depois de simplificar e resolver para , encontramos o valor de que satisfaz a equação.

Passo 4

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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