Seja a função definida por .
A função admite inversa? Se a resposta for afirmativa, determine o domínio, o contradomínio, a expressão e o gráfico da função inversa . Se a resposta for negativa, justifique.
Passo 1
Então, a gente tem uma função definida por partes:
A pergunta é: essa função tem inversa? Se sim, precisamos encontrar o domínio, contradomínio, expressão e gráfico da função inversa . Se não, precisamos justificar por quê. Para isso, vamos precisar entender o conceito de função inversa e verificar se é bijetora (injeção e sobrejeção).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função ter inversa, ela precisa ser injetora (cada saída corresponde a um único input) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio). Vamos verificar se é injetora em cada intervalo.
Passo 3
No primeiro intervalo, , a função é . Essa é uma função linear decrescente, então é injetora nesse intervalo.
Passo 4
No segundo intervalo, , temos . A função cosseno nesse intervalo vai de a , mas não é estritamente crescente nem decrescente, o que significa que não é injetora nesse intervalo.
Passo 5
Já que a função cosseno não é injetora no intervalo , a função como um todo não é injetora. Sem ser injetora, ela não admite inversa.
Resposta
A função não admite inversa porque não é injetora no intervalo , já que a função cosseno nesse intervalo não é estritamente crescente nem decrescente.