Seja a função definida por .
A função f admite inversa? Se a resposta for afirmativa, determine o domínio, o contradomínio, a expressão e o gráfico da função inversa f^-1. Se a resposta for negativa, justifique.
Passo 1
Então, a gente tem uma função f: R R definida por partes:
f(x)= -x+1, & se x < 0 cos x, & se 0 <= x <= pi -(x-pi)^2-1, & se x > pi
A pergunta é: essa função tem inversa? Se sim, precisamos encontrar o domínio, contradomínio, expressão e gráfico da função inversa f^-1. Se não, precisamos justificar por quê. Para isso, vamos precisar entender o conceito de função inversa e verificar se f é bijetora (injeção e sobrejeção).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função ter inversa, ela precisa ser injetora (cada saída corresponde a um único input) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio). Vamos verificar se f é injetora em cada intervalo.
Passo 3
No primeiro intervalo, x < 0, a função é f(x) = -x + 1. Essa é uma função linear decrescente, então é injetora nesse intervalo.
Passo 4
No segundo intervalo, 0 <= x <= pi, temos f(x) = cos x. A função cosseno nesse intervalo vai de 1 a -1, mas não é estritamente crescente nem decrescente, o que significa que não é injetora nesse intervalo.
Passo 5
Já que a função cosseno não é injetora no intervalo 0 <= x <= pi, a função f como um todo não é injetora. Sem ser injetora, ela não admite inversa.
Resposta
A função fnão admite inversa porque não é injetora no intervalo 0 <= x <= pi, já que a função cosseno nesse intervalo não é estritamente crescente nem decrescente.