Nos problemas de 1 a 10 , encontre a solução geral da equação dife-
rencial dada.
rencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma equação diferencial do tipo
. O que isso significa? Basicamente, precisamos encontrar todas as funções
que satisfazem essa equação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 9 para facilitar os cálculos:
Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial homogênea com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver, vamos montar a equação característica associada. Substituímos
por
,
por
e
por 1:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Passo 5
Como o discriminante
, isso significa que temos raízes reais e iguais. Assim, temos:
Passo 6
Com raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Nos problemas de 11 a 14 , resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando
cresce.
,
Nos problemas de 1 a 10 , encontre a solução geral da equação dife-
rencial dada.
rencial dada.
Nos problemas de 1 a 10 , encontre a solução geral da equação dife-
rencial dada.
rencial dada.
Em cada um dos Problemas
, encontre a soluçāo geral da equaçoo diferencial dada. No Problema 9 , g é uma funç̧oo contínua arbitrária.