Nos problemas de 1 a 10 , encontre a solução geral da equação dife-
rencial dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma equação diferencial do tipo . O que isso significa? Basicamente, precisamos encontrar todas as funções que satisfazem essa equação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 9 para facilitar os cálculos:
Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial homogênea com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver, vamos montar a equação característica associada. Substituímos por , por e por 1:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:

Passo 5

Como o discriminante , isso significa que temos raízes reais e iguais. Assim, temos:

Passo 6

Com raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Nos problemas de 11 a 14 , resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando cresce.
,
Nos problemas de 1 a 10 , encontre a solução geral da equação dife-
rencial dada.
Nos problemas de 1 a 10 , encontre a solução geral da equação dife-
rencial dada.
Em cada um dos Problemas , encontre a soluçāo geral da equaçoo diferencial dada. No Problema 9 , g é uma funç̧oo contínua arbitrária.