Nos problemas de 1 a 10 , encontre a solução geral da equação dife-
rencial dada.
25 y'' - 20 y' + 4 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar para aplicar o método das equações características. A equação dada é:
Podemos dividi-la por 25 para simplificar:

Passo 3

Agora, vamos montar a equação característica associada a essa equação diferencial. A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem da forma:
é:
No nosso caso, , e . Então, a equação característica fica:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:

Passo 5

Observamos que a equação característica tem uma raiz dupla . Isso significa que a solução geral da equação diferencial será da forma:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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