Nos problemas de 1 a 10 , encontre a solução geral da equação dife-
rencial dada.
rencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar para aplicar o método das equações características. A equação dada é:
Podemos dividi-la por 25 para simplificar:
Passo 3
Agora, vamos montar a equação característica associada a essa equação diferencial. A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem da forma:
é:
No nosso caso,
,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Passo 5
Observamos que a equação característica tem uma raiz dupla
. Isso significa que a solução geral da equação diferencial será da forma:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Nos problemas de 1 a 10 , encontre a solução geral da equação dife-
rencial dada.
rencial dada.
Nos problemas de 11 a 14 , resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando
cresce.
,
Em cada um dos Problemas
, encontre a soluçāo geral da equaçoo diferencial dada. No Problema 9 , g é uma funç̧oo contínua arbitrária.
Em cada um dos Problemas 10 a 15 , verifique que as funçōes dadas
e
satisfazem a equaçāo homogênea associada; depois encontre uma solu da equação não homogênea dada. Nos Problemas 14 e
é uma função contínua arbitrária