Em cada um dos Problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Estamos lidando com uma equação diferencial separável, onde conseguimos separar os termos que envolvem dos que envolvem . Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e . Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Agora, os termos com estão de um lado e os termos com do outro.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação.
Para o lado esquerdo:
Sabemos que . A integral de é , então:
Para o lado direito:
Lembrando que , temos:

Passo 4

Igualando as integrais dos dois lados:
Podemos multiplicar toda a equação por 2 para simplificar:
Onde é uma constante de integração.

Passo 5

Para isolar , aplicamos a função arco-tangente nos dois lados:
Dividindo por 2:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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