Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
12.
12.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente recebeu a equação diferencial:
Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que ajuda a simplificar a equação para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos na equação padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, temos:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Como
, temos:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso facilita bastante a resolução!
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral do lado direito:
Fazendo a substituição
, temos
. Assim, a integral vira:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Encontre a derivada da função.
Encontre a derivada da função.
Se depositar mensalmente o valor de
num fundo que rende 1,3% a.m. durante 10 anos. Quanto terá acumulado ao final de 10 anos?
R:
R:
Em cada um dos Problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.