Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
12.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente recebeu a equação diferencial:
Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que ajuda a simplificar a equação para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos na equação padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, temos:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Como , temos:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso facilita bastante a resolução!

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral do lado direito:
Fazendo a substituição , temos . Assim, a integral vira:

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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R:
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