Para cada uma das proposições do Exercício 21, escreva a sua negação em linguagem simbólica e em linguagem natural
22f.) existe x em R tal que para todo y em R, x + y diferente de 0 (Existe um número real x que não tem oposto).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma proposição matemática envolvendo números reais e opostos. Nosso objetivo aqui é escrever a negação dessa proposição tanto em linguagem simbólica quanto em linguagem natural. Para isso, vamos usar conceitos de lógica matemática, especificamente a negação de quantificadores como “existe” ( ) e “para todo” ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a proposição original:
Isso significa: “Existe um número real x tal que, para todo número real y, não é igual a zero.” Em outras palavras, há um número real que não tem oposto.

Passo 3

Agora, para negar essa proposição, precisamos inverter os quantificadores e a condição. A regra geral para negar uma proposição com quantificadores é:
  • A negação de “Existe x tal que…” ( ) é “Para todo x…” ( forall x).
  • A negação de “Para todo y…” ( ) é “Existe y…” ( ).
  • A negação da condição “ ” é “ ”.

Passo 4

Aplicando essas regras à nossa proposição:
  1. Troca por forall x.
  2. Troca por .
  3. Troca por .
Então, a negação fica:

Passo 5

Vamos traduzir isso para linguagem natural: “Para todo número real x, existe um número real y tal que é igual a zero.” Ou seja, “Todo número real tem um oposto.”

Resposta

A negação da proposição é:
Em linguagem simbólica:
Em linguagem natural:
“Todo número real x tem um número real y tal que é igual a zero.”

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