Cada questão vale 1,25 ponto.
A estrutura do cromo à temperatura ambiente é cúbica de corpo centrado ( CCC) com parâmetro de rede de 0,125 nm e peso atômico de 52,00 g mol^-1. (a) Calcule o parâmetro de rede a para o cromo. (b) Calcule a sua densidade. © Calcule a densidade linear (número de átomos por nm) na direção [111]. (d) Calcule a densidade planar (número de átomos por nm^2 ) no plano (110).

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos fala sobre o cromo que, à temperatura ambiente, tem uma estrutura cúbica de corpo centrado (CCC). Sabemos que o parâmetro de rede é 0,125 nm e o peso atômico é 52,00 g mol^-1. A matéria que vamos usar aqui envolve estruturas cristalinas, densidade e conceitos de geometria cristalina. Vamos precisar entender como calcular o parâmetro de rede, a densidade do material, e as densidades linear e planar nas direções e planos específicos.

Passo 2

Parte (a): Calcular o parâmetro de rede a para o cromo.
Na estrutura cúbica de corpo centrado (CCC), o parâmetro de rede a já foi dado como 0,125 nm. Porém, geralmente, o parâmetro de rede para CCC é maior, então pode haver um erro no enunciado ou é necessário confirmar se o valor está correto. Considerando o valor fornecido:
a = 0,125 , nm

Passo 3

Parte (b): Calcular a densidade do cromo.
A densidade ( rho) de um material pode ser calculada usando a fórmula:
rho = Z cdot MNA cdot a^3
Onde:
  • Z é o número de átomos por célula unitária. Na CCC, Z = 2.
  • M é o peso atômico, que é 52,00 , g/mol.
  • NA é o número de Avogadro, aproximadamente 6,022 times 10^23 , mol^-1.
  • a é o parâmetro de rede em centímetros. Primeiro, convertemos 0,125 nm para centímetros:
a = 0,125 , nm = 0,125 times 10^-7 , cm = 1,25 times 10^-8 , cm
Agora, calculamos a^3:
a^3 = (1,25 times 10^-8 , cm)^3 = 1,953125 times 10^-24 , cm^3
Substituindo na fórmula da densidade:
rho = 2 cdot 52,006,022 times 10^23 cdot 1,953125 times 10^-24
Calculando o denominador:
6,022 times 10^23 cdot 1,953125 times 10^-24 approx 1,176
Então:
rho = 104,001,176 approx 88,46 , g/cm^3

Passo 4

Parte ©: Calcular a densidade linear (número de átomos por nm) na direção [111].
A densidade linear ( Dl) na direção [111] é o número de átomos por unidade de comprimento nessa direção. Na estrutura CCC, a direção [111] passa pelo corpo diagonal da célula unitária.
Primeiro, calculamos o comprimento da direção [111]:
d111 = raiz3 cdot a
Substituindo a = 0,125 , nm:
d111 = raiz3 cdot 0,125 approx 0,2165 , nm
Na direção [111] da CCC, há 2 átomos compartilhados (dois vértices e um no centro). Portanto:
Dl = 2d111 = 20,2165 approx 9,23 , átomos/nm á

Passo 5

Parte (d): Calcular a densidade planar (número de átomos por nm^2) no plano (110).
A densidade planar ( Dp) no plano (110) é o número de átomos por unidade de área nesse plano. No plano (110) da CCC, observamos que há 2 átomos completamente dentro do plano.
Primeiro, calculamos a área do plano (110):
A110 = a cdot a = (0,125 , nm)^2 = 0,015625 , nm^2
Como há 2 átomos por célula unitária no plano (110):
Dp = 2A110 = 20,015625 = 128 , átomos/nm^2 á

Resposta

(a) O parâmetro de rede a para o cromo é 0,125 , nm.
(b) A densidade do cromo é aproximadamente 88,46 , g/cm^3.
© A densidade linear na direção [111] é aproximadamente 9,23 , átomos/nmá.
(d) A densidade planar no plano (110) é 128 , átomos/nm^2á.

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