Para cada uma das relações abaixo no conjunto
, decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma relação no conjunto
e precisamos descobrir se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica. Para isso, vamos usar os conceitos dessas propriedades nas relações.
Passo 2
Reflexiva: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para cada
no conjunto, o par
deve estar na relação. Vamos verificar:
No conjunto
, precisaríamos ter
,
,
e
. Observando a relação
:
- Temos
e . - Faltam
e .
Como nem todos os pares necessários estão presentes, a relação não é reflexiva.
Passo 3
Simétrica: Uma relação é simétrica se sempre que
está na relação, então
também está. Vamos verificar os pares:
- Temos
e , o que está ok. - Temos
, mas não temos .
Como existe um par sem seu correspondente inverso, a relação não é simétrica.
Passo 4
Transitiva: Uma relação é transitiva se, sempre que
e
est��o na relação, então
também está. Vamos verificar:
-
e implicam , que está na relação. -
e implicam , que está na relação. -
e implicam , que está na relação. -
e implicam , que está na relação.
Todos os casos possíveis estão satisfeitos, então a relação é transitiva.
Passo 5
Anti-simétrica: Uma relação é anti-simétrica se, sempre que
e
estão na relação, então
. Vamos verificar:
- Temos
e , mas .
Isso viola a condição de anti-simetria, então a relação não é anti-simétrica.
Resposta
A relação não é reflexiva, não é simétrica, é transitiva e não é anti-simétrica.
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Determine se cada uma das funções abaixo são bijetoras de
para
:
Determine se
é uma função de um conjunto de todas as cadeias de bits para o cojunjunto dos números inteiros se:
é o número de bit 1 em
Para cada uma das relações abaixo no conjunto
, decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
Quais destas relações em
são relações de equivalência?