Para cada uma das relações abaixo no conjunto {1,2,3,4}, decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
a {(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)}

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma relação no conjunto {1,2,3,4} e precisamos descobrir se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica. Para isso, vamos usar os conceitos dessas propriedades nas relações.

Passo 2

Reflexiva: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para cada x no conjunto, o par deve estar na relação. Vamos verificar:
No conjunto {1,2,3,4}, precisaríamos ter 1,1, (2, 2), 3,3 e . Observando a relação :
  • Temos (2, 2) e 3,3.
  • Faltam 1,1 e .
Como nem todos os pares necessários estão presentes, a relação não é reflexiva.

Passo 3

Simétrica: Uma relação é simétrica se sempre que (a, b) está na relação, então (b, a) também está. Vamos verificar os pares:
  • Temos (2,3) e (3,2), o que está ok.
  • Temos 2,4, mas não temos (4,2).
Como existe um par sem seu correspondente inverso, a relação não é simétrica.

Passo 4

Transitiva: Uma relação é transitiva se, sempre que (a, b) e est��o na relação, então também está. Vamos verificar:
  • (2,3) e (3,2) implicam (2, 2), que está na relação.
  • (2,3) e (3, 4) implicam 2,4, que está na relação.
  • (3,2) e (2,3) implicam 3,3, que está na relação.
  • (3,2) e 2,4 implicam (3, 4), que está na relação.
Todos os casos possíveis estão satisfeitos, então a relação é transitiva.

Passo 5

Anti-simétrica: Uma relação é anti-simétrica se, sempre que (a, b) e (b, a) estão na relação, então . Vamos verificar:
  • Temos (2,3) e (3,2), mas .
Isso viola a condição de anti-simetria, então a relação não é anti-simétrica.

Resposta

A relação não é reflexiva, não é simétrica, é transitiva e não é anti-simétrica.

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