Para cada uma das relações abaixo no conjunto , decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma relação no conjunto e precisamos descobrir se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica. Para isso, vamos usar os conceitos dessas propriedades nas relações.

Passo 2

Reflexiva: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para cada no conjunto, o par deve estar na relação. Vamos verificar:
No conjunto , precisaríamos ter , , e . Observando a relação :
  • Temos e .
  • Faltam e .
Como nem todos os pares necessários estão presentes, a relação não é reflexiva.

Passo 3

Simétrica: Uma relação é simétrica se sempre que está na relação, então também está. Vamos verificar os pares:
  • Temos e , o que está ok.
  • Temos , mas não temos .
Como existe um par sem seu correspondente inverso, a relação não é simétrica.

Passo 4

Transitiva: Uma relação é transitiva se, sempre que e est��o na relação, então também está. Vamos verificar:
  • e implicam , que está na relação.
  • e implicam , que está na relação.
  • e implicam , que está na relação.
  • e implicam , que está na relação.
Todos os casos possíveis estão satisfeitos, então a relação é transitiva.

Passo 5

Anti-simétrica: Uma relação é anti-simétrica se, sempre que e estão na relação, então . Vamos verificar:
  • Temos e , mas .
Isso viola a condição de anti-simetria, então a relação não é anti-simétrica.

Resposta

A relação não é reflexiva, não é simétrica, é transitiva e não é anti-simétrica.

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é o número de bit 1 em
Para cada uma das relações abaixo no conjunto , decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
Quais destas relações em são relações de equivalência?