Para cada uma das relações abaixo no conjunto , decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar a relação no conjunto e determinar se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica. Para isso, vamos precisar entender cada uma dessas propriedades e checar se a relação as satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre reflexividade. Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, pra todo no conjunto, o par deve estar na relação.

Passo 3

Vamos verificar a reflexividade da nossa relação . O conjunto é , então devemos ter os pares , , e na relação. Mas olhando , temos apenas , e . Nenhum desses é da forma , então falta todo mundo se relacionar com si mesmo.

Passo 4

Agora, vamos para a simetria. Uma relação é simétrica se, sempre que está na relação, então também está. Em outras palavras, se está relacionado com , então também está relacionado com .

Passo 5

Vamos verificar a simetria da relação . Temos na relação, mas não temos . Isso já quebra a simetria. Além disso, não tem e não tem . Então, a relação não é simétrica.

Passo 6

Seguinte, vamos falar sobre transitividade. Uma relação é transitiva se, sempre que e estão na relação, então também está. Isso basicamente significa que a relação “pula” os intermediários.

Passo 7

Vamos ver se é transitiva. Temos e na relação. Se for transitiva, então deveria estar na relação, mas não está. Também temos e , então deveria estar, mas também não está. Portanto, a relação não é transitiva.

Passo 8

Por último, vamos analisar a anti-simetria. Uma relação é anti-simétrica se, sempre que e estão na relação, então . Ou seja, a única vez que e podem coexistir é quando e são o mesmo elemento.

Passo 9

Vamos verificar a anti-simetria de . Olhando os pares da relação, vemos , e . Nenhum desses pares tem o inverso na relação. Como não há pares e com , a relação satisfaz a anti-simetria.

Resposta

A relação no conjunto é anti-simétrica, mas não é reflexiva, simétrica nem transitiva.

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Quais destas relações em são relações de equivalência?
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