Para cada uma das relações abaixo no conjunto
, decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar a relação
no conjunto
e determinar se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica. Para isso, vamos precisar entender cada uma dessas propriedades e checar se a relação
as satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre reflexividade. Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, pra todo
no conjunto, o par
deve estar na relação.
Passo 3
Vamos verificar a reflexividade da nossa relação
. O conjunto é
, então devemos ter os pares
,
,
e
na relação. Mas olhando
, temos apenas
,
e
. Nenhum desses é da forma
, então falta todo mundo se relacionar com si mesmo.
Passo 4
Agora, vamos para a simetria. Uma relação é simétrica se, sempre que
está na relação, então
também está. Em outras palavras, se
está relacionado com
, então
também está relacionado com
.
Passo 5
Vamos verificar a simetria da relação
. Temos
na relação, mas não temos
. Isso já quebra a simetria. Além disso,
não tem
e
não tem
. Então, a relação não é simétrica.
Passo 6
Seguinte, vamos falar sobre transitividade. Uma relação é transitiva se, sempre que
e
estão na relação, então
também está. Isso basicamente significa que a relação “pula” os intermediários.
Passo 7
Vamos ver se
é transitiva. Temos
e
na relação. Se for transitiva, então
deveria estar na relação, mas não está. Também temos
e
, então
deveria estar, mas também não está. Portanto, a relação não é transitiva.
Passo 8
Por último, vamos analisar a anti-simetria. Uma relação é anti-simétrica se, sempre que
e
estão na relação, então
. Ou seja, a única vez que
e
podem coexistir é quando
e
são o mesmo elemento.
Passo 9
Vamos verificar a anti-simetria de
. Olhando os pares da relação, vemos
,
e
. Nenhum desses pares tem o inverso na relação. Como não há pares
e
com
, a relação satisfaz a anti-simetria.
Resposta
A relação
no conjunto
é anti-simétrica, mas não é reflexiva, simétrica nem transitiva.
Exercícios relacionados
Para cada uma das relações abaixo no conjunto
, decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
Determine se cada uma das funções abaixo são bijetoras de
para
:
Quais destas relações em
são relações de equivalência?
Quais destas relações em
são relações de equivalência?