Determine se cada uma das funções abaixo são bijetoras de R para R :
f(x) = -3x^2 + 7

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a função é bijetora de para . Isso envolve entender dois conceitos importantes de funções: injetividade e sobrejetividade. Vamos precisar verificar se a função é injetora (cada entrada tem uma saída única) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de saída possível).

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Uma função é injetora se, para cada e no domínio, implica que . No caso da nossa função, ela é uma parábola que abre para baixo devido ao coeficiente negativo de .

Passo 3

Uma parábola que abre para baixo não é injetora porque valores de positivos e negativos podem dar o mesmo valor de . Por exemplo, e . Como mas , a função não é injetora.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo no contradomínio, existe pelo menos um no domínio tal que . A nossa função tem um ponto máximo em , onde , e à medida que aumenta ou diminui, diminui sem limite inferior. Portanto, o conjunto das imagens de é .

Passo 5

Como o contradomínio é (todos os números reais), mas o conjunto das imagens é , a função não atinge valores maiores que 7. Logo, ela não é sobrejetora.

Resposta

A função não é bijetora de para porque não é injetora nem sobrejetora.

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