Quais destas relações em
são relações de equivalência?
Passo 1
Então, a gente tem uma relação
no conjunto
. A pergunta é: essa relação é uma relação de equivalência? Para responder isso, a gente precisa verificar três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a relação é reflexiva. Isso significa que todo elemento do conjunto precisa estar relacionado consigo mesmo. Ou seja, todos os pares
devem estar em
.
No nosso conjunto
, precisamos ter os pares
,
,
e
.
Olha só a relação
:
-
está lá. -
não está. -
está lá. -
está lá.
Como falta o par
, a relação não é reflexiva.
Passo 3
Mesmo já sabendo que a relação não é reflexiva, vamos continuar para entender melhor. Agora, vamos verificar a simetria. Uma relação é simétrica se, sempre que
estiver em
, então
também está.
Vamos checar cada par:
-
é simétrico consigo mesmo. -
e estão ambos em . -
é simétrico consigo mesmo. -
e estão ambos em . -
é simétrico consigo mesmo.
Então, a relação é simétrica.
Passo 4
Agora, vamos ver a transitividade. A relação é transitiva se, sempre que
e
estiverem em
, então
também deve estar.
Vamos verificar:
-
e implicam — que está em . -
e implicam — não está em . -
e implicam — que está em . - Outros pares seguem a mesma lógica e não causam problemas.
Como falta o par
, a relação não é transitiva.
Resposta
A relação
não é uma relação de equivalência, pois não é reflexiva nem transitiva.
Exercícios relacionados
Para cada uma das relações abaixo no conjunto
, decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
Para cada uma das relações abaixo no conjunto
, decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
Quais destas relações em
são relações de equivalência?
Determine se cada uma das funções abaixo, do conjunto
para ele mesmo é injetora: