Quais destas relações em são relações de equivalência?

Passo 1

Então, a gente tem uma relação no conjunto . A pergunta é: essa relação é uma relação de equivalência? Para responder isso, a gente precisa verificar três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a relação é reflexiva. Isso significa que todo elemento do conjunto precisa estar relacionado consigo mesmo. Ou seja, todos os pares devem estar em .
No nosso conjunto , precisamos ter os pares , , e .
Olha só a relação :
  • está lá.
  • não está.
  • está lá.
  • está lá.
Como falta o par , a relação não é reflexiva.

Passo 3

Mesmo já sabendo que a relação não é reflexiva, vamos continuar para entender melhor. Agora, vamos verificar a simetria. Uma relação é simétrica se, sempre que estiver em , então também está.
Vamos checar cada par:
  • é simétrico consigo mesmo.
  • e estão ambos em .
  • é simétrico consigo mesmo.
  • e estão ambos em .
  • é simétrico consigo mesmo.
Então, a relação é simétrica.

Passo 4

Agora, vamos ver a transitividade. A relação é transitiva se, sempre que e estiverem em , então também deve estar.
Vamos verificar:
  • e implicam — que está em .
  • e implicam não está em .
  • e implicam — que está em .
  • Outros pares seguem a mesma lógica e não causam problemas.
Como falta o par , a relação não é transitiva.

Resposta

A relação não é uma relação de equivalência, pois não é reflexiva nem transitiva.

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Para cada uma das relações abaixo no conjunto , decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
Para cada uma das relações abaixo no conjunto , decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
Quais destas relações em são relações de equivalência?
Determine se cada uma das funções abaixo, do conjunto para ele mesmo é injetora: