Para cada uma das seguintes coleções de vetores, determine quando os vetores são linearmente independentes:
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três polinômios:
Estamos trabalhando no espaço dos polinômios de grau no máximo 3, que é representado por
. A pergunta é: Quando esses vetores (polinômios) são linearmente independentes?
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de independência linear e como aplicá-lo a esses polinômios.
Passo 2
Independência Linear significa que não existe uma combinação não trivial dos vetores que resulte no vetor zero. Ou seja, se somente a combinação onde todos os coeficientes são zero satisfaz a equação, então os vetores são independentes.
No nosso caso, isso significa encontrar se a única solução para a equação:
é
,
e
.
Passo 3
Vamos expandir a equação:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que essa equação seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero.
Passo 4
Isso nos dá um sistema de equações:
-
(coeficiente de ) -
(termo constante)
Agora, precisamos resolver esse sistema para
,
e
.
Passo 5
Vamos resolver a primeira equação para
:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Passo 6
Até aqui, encontramos que:
Isso significa que existe uma solução não trivial (quando
não é zero) para a combinação dos vetores que resulta no vetor zero. Por exemplo, se
, então
e
.
Passo 7
Como existe uma combinação não trivial que resulta no vetor zero, concluímos que os vetores não são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores
,
e
não são linearmente independentes em
.
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Calcular
.
Dadas as matrizes:
e
Dadas as matrizes:
Calcule os valores de
e
para que as matrizes A e B sejam iguais.
e
Calcular
.
Dadas as matrizes:
e
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Calcular
.
Dadas as matrizes:
e
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