Para cada uma das seguintes coleções de vetores, determine quando os vetores são linearmente independentes:
(e) .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três polinômios:
Estamos trabalhando no espaço dos polinômios de grau no máximo 3, que é representado por . A pergunta é: Quando esses vetores (polinômios) são linearmente independentes?
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de independência linear e como aplicá-lo a esses polinômios.

Passo 2

Independência Linear significa que não existe uma combinação não trivial dos vetores que resulte no vetor zero. Ou seja, se somente a combinação onde todos os coeficientes são zero satisfaz a equação, então os vetores são independentes.
No nosso caso, isso significa encontrar se a única solução para a equação:
é , e .

Passo 3

Vamos expandir a equação:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que essa equação seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 4

Isso nos dá um sistema de equações:
  1. (coeficiente de )
  2. (termo constante)
Agora, precisamos resolver esse sistema para , e .

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação para :
Agora, substituímos na segunda equação:

Passo 6

Até aqui, encontramos que:
Isso significa que existe uma solução não trivial (quando não é zero) para a combinação dos vetores que resulta no vetor zero. Por exemplo, se , então e .

Passo 7

Como existe uma combinação não trivial que resulta no vetor zero, concluímos que os vetores não são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores , e não são linearmente independentes em .

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