Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
i. d^2y/dt^2 + y = sec^2(t);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver isso, a gente precisa encontrar duas partes: a solução geral da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular da equação completa. No final, somamos essas duas partes para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a solução geral da equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, usamos a equação característica. Supomos que a solução tem a forma , onde é uma constante. Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, temos:
Os valores de são complexos puros. Isso significa que as soluções da equação homogênea são funções trigonométricas. Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que determinam as soluções particulares.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Observamos que o lado direito é , que é a derivada de . No método dos coeficientes a determinar, normalmente escolhemos baseada na forma do lado direito. Porém, como não é uma função polinomial, exponencial ou senoidal simples, vamos usar o método de coeficientes a determinar adaptado.
Se tentarmos assumir , poderemos encontrar os coeficientes e . Vamos calcular as derivadas:
Primeira derivada de :
Segunda derivada de :
Substituindo , e na equação original:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Comparando os coeficientes, obtemos um sistema de equações para e . Após resolver esse sistema, encontramos que:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

Finalmente, para obter a solução geral da equação diferencial, somamos a solução da equação homogênea com a solução particular:

Resposta

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes reais que podem ser determinadas com condições iniciais específicas.

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