Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
i.
;
i.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver isso, a gente precisa encontrar duas partes: a solução geral da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular da equação completa. No final, somamos essas duas partes para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a solução geral da equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, usamos a equação característica. Supomos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante. Substituindo na equação homogênea:
Como
nunca é zero, temos:
Os valores de
são complexos puros. Isso significa que as soluções da equação homogênea são funções trigonométricas. Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que determinam as soluções particulares.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Observamos que o lado direito é
, que é a derivada de
. No método dos coeficientes a determinar, normalmente escolhemos
baseada na forma do lado direito. Porém, como
não é uma função polinomial, exponencial ou senoidal simples, vamos usar o método de coeficientes a determinar adaptado.
Se tentarmos assumir
, poderemos encontrar os coeficientes
e
. Vamos calcular as derivadas:
Primeira derivada de
:
Segunda derivada de
:
Substituindo
,
e na equação original:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Comparando os coeficientes, obtemos um sistema de equações para
e
. Após resolver esse sistema, encontramos que:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
Finalmente, para obter a solução geral da equação diferencial, somamos a solução da equação homogênea com a solução particular:
Resposta
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes reais que podem ser determinadas com condições iniciais específicas.
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Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
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de
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i.
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