Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
i.
i.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, estamos lidando com uma equação não homogênea porque o lado direito não é zero. O conteúdo que vamos usar envolve resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem. Precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (
) e uma solução particular (
).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Isso é mais simples porque o lado direito é zero. A gente assume uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Fatorando
:
Como
nunca é zero, temos:
Passo 4
Resolvendo para
:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa. O lado direito é
, então vamos supor que
tem a forma:
Onde
,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 6
Calculando as derivadas necessárias:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para
:
E para o termo constante:
Passo 9
Com
e
:
Então, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
i. ;
i.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
d. ;
d.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
o.
o.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
g. ,
,
g.