Encontre o polinómio de Taylor T2 de f(x) centrado em ponto a = 1
f(x) = 1/x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o polinômio de Taylor da função centrado no ponto . Para isso, vamos utilizar a expansão em série de Taylor, que envolve calcular as derivadas da função até a segunda ordem e avaliá-las no ponto .

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor da função no ponto :

Passo 3

Em seguida, calculamos a primeira derivada de :
Agora, avaliamos essa derivada em :

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada de :
E avaliamos essa segunda derivada em :

Passo 5

Com os valores das derivadas em mãos, montamos o polinômio de Taylor de segunda ordem:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Resposta

O polinômio de Taylor de segunda ordem de centrado em é:

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Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
n. y'' - 6y' + 9y = 2e^(3t), y(0) = 0, y'(0) = 1
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
c. y'' - 4y' + 4y = e^(2t)
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
d. y'' + 4y = 3 csc(t), 0 < t < pi;
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
i. d^2y/dt^2 + y = sec^2(t);