Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
o.
o.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é não-homogênea. A equação dada é:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e métodos para encontrar soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
Para resolver isso, encontramos a equação característica associada:
Passo 3
Resolvendo a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas, a solução homogênea será:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não-homogênea:
Como o lado direito é uma combinação de exponenciais, tentamos uma solução particular da forma:
Passo 5
Vamos derivar
para substituir na equação original:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 6
Igualando os coeficientes das exponenciais:
Para
:
Para
:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
i.
i.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
i. ;
i.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
g. ,
,
g.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
l. ,
,
l.