Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
g.
,
,
g.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial juntos! A questão pede pra gente achar a solução da equação de valor inicial:
com as condições iniciais:
Vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Primeiro, vamos resolver a parte homogênea dessa equação e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea. Depois, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, a gente encontra a equação característica substituindo
por
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Isso nos dá duas raízes reais:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, a gente precisa encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito envolve
, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Aqui,
e
são constantes que vamos achar.
Vamos encontrar as derivadas de
:
-
Primeira derivada:Simplificando:
-
Segunda derivada:Simplificando:
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Substituindo:
Simplificando os coeficientes de
e
:
Para
:
Para
:
Então, temos o sistema:
Resolvendo:
- De
, temos . - Substituindo
em , temos então .
Então, a solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução geral da parte homogênea com a solução particular:
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Então:
Agora, calculamos a primeira derivada
:
Simplificando:
Aplicamos a condição
:
Então:
Agora temos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Então:
Substituindo em
:
Então:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é:
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l. ,
,
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p.
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