Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
g. y'' - 3 y' - 4 y = -8 e^t cos(2 t), y(0) = 10 / 13, y'(0) = 1/13

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial juntos! A questão pede pra gente achar a solução da equação de valor inicial:
com as condições iniciais:
Vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Primeiro, vamos resolver a parte homogênea dessa equação e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea. Depois, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, a gente encontra a equação característica substituindo por :
Resolvendo essa equação quadrática:
Isso nos dá duas raízes reais:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, a gente precisa encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito envolve , vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Aqui, e são constantes que vamos achar.
Vamos encontrar as derivadas de :
  1. Primeira derivada:
    Simplificando:
  2. Segunda derivada:
    Simplificando:
Agora, substituímos , e na equação original:
Substituindo:
Simplificando os coeficientes de e :
Para :
Para :
Então, temos o sistema:
Resolvendo:
  1. De , temos .
  2. Substituindo em , temos então .
Então, a solução particular é:

Passo 4

Agora, juntamos a solução geral da parte homogênea com a solução particular:
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, aplicamos :
Então:
Agora, calculamos a primeira derivada :
Simplificando:
Aplicamos a condição :
Então:
Agora temos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Então:
Substituindo em :
Então:

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:

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