Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
j. d^2y/dt^2 + y = csc(t) tan(t);

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial de segunda ordem não-homogênea:
Vamos precisar resolver a parte homogênea dessa equação e depois encontrar uma solução particular para completar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver a parte homogênea, encontramos a equação característica:
As raízes dessa equação são:
Essas raízes complexas indicam que a solução homogênea envolverá funções trigonométricas.

Passo 4

Assim, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes reais que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Vamos usar o método de variação de parâmetros para isso.

Passo 6

Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
Essas funções serão usadas para construir a solução particular.

Passo 7

Calculamos o Wronskiano ( ) das soluções e :
O Wronskiano sendo 1 facilita os cálculos seguintes.

Passo 8

A fórmula para a solução particular usando variação de parâmetros é:
Onde .

Passo 9

Simplificamos :

Passo 10

Agora, calculamos as integrais:

Passo 11

Substituindo as integrais na fórmula da solução particular:
Podemos simplificar ignorando a constante, já que ela será absorvida nas constantes da solução geral.

Passo 12

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral é

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