Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
j.
;
j.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial de segunda ordem não-homogênea:
Vamos precisar resolver a parte homogênea dessa equação e depois encontrar uma solução particular para completar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver a parte homogênea, encontramos a equação característica:
As raízes dessa equação são:
Essas raízes complexas indicam que a solução homogênea envolverá funções trigonométricas.
Passo 4
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes reais que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Vamos usar o método de variação de parâmetros para isso.
Passo 6
Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
Essas funções serão usadas para construir a solução particular.
Passo 7
Calculamos o Wronskiano (
) das soluções
e
:
O Wronskiano sendo 1 facilita os cálculos seguintes.
Passo 8
A fórmula para a solução particular usando variação de parâmetros é:
Onde
.
Passo 9
Simplificamos
:
Passo 10
Agora, calculamos as integrais:
Passo 11
Substituindo as integrais na fórmula da solução particular:
Podemos simplificar ignorando a constante, já que ela será absorvida nas constantes da solução geral.
Passo 12
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral é
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a.
a.
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m. ,
;
m.
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
b. ,
b.