Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que ele pede é para calcular uma integral de linha, que é uma forma de somar valores ao longo de uma curva no plano. A curva
está definida pelas funções paramétricas
e
, onde
varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e como calcular o diferencial de comprimento
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha da forma
calcula a soma da função
ao longo da curva
, multiplicada pelo diferencial de comprimento
. No nosso caso,
, então precisamos expressar tudo em termos da variável
.
Passo 3
Como a curva
está parametrizada por
e
, vamos derivar essas funções em relação a
para encontrar
e
:
Passo 4
Agora, o diferencial de comprimento
é dado por:
Substituindo
e
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 6
Para resolver essa integral, faremos uma substituição. Vamos definir
. Então, derivando
em relação a
:
Passo 7
Substituindo na integral:
Calculando
e
:
Passo 8
Agora, integramos
:
Então:
Passo 9
Calculando os valores:
Então:
Resposta
A integral de linha é aproximadamente
.
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Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
j. ;
j.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
a.
a.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
b. ,
b.
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.