Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC x d s, C: x=t^3, y=t, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que ele pede é para calcular uma integral de linha, que é uma forma de somar valores ao longo de uma curva no plano. A curva está definida pelas funções paramétricas e , onde varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e como calcular o diferencial de comprimento .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha da forma calcula a soma da função ao longo da curva , multiplicada pelo diferencial de comprimento . No nosso caso, , então precisamos expressar tudo em termos da variável .

Passo 3

Como a curva dxdt = 3t^2, dydt = 1 está parametrizada por e , vamos derivar essas funções em relação a para encontrar e :

Passo 4

Agora, o diferencial de comprimento ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt é dado por:
ds = raiz(3t^2)^2 + (1)^2 , dt = raiz9t^4 + 1 , dt
Substituindo e :

Passo 5

Agora, substituímos integralC x , ds = integral0^1 t^3 cdot raiz9t^4 + 1 , dt e na integral original:

Passo 6

Para resolver essa integral, faremos uma substituição. Vamos definir dudt = 36t^3 implies du = 36t^3 , dt implies t^3 , dt = du36 . Então, derivando em relação a :

Passo 7

Substituindo na integral:
integral0^1 t^3 cdot raiz9t^4 + 1 , dt = integralu(0)^u(1) raizu cdot du36
Calculando = 136 integral1^10 u^1/2 , du e :

Passo 8

Agora, integramos integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 :
136 cdot 23 [ u^3/2 ]1^10 = 154 (10^3/2 - 1^3/2)
Então:

Passo 9

Calculando os valores:
10^3/2 = raiz10^3 = raiz1000 approx 31.6227766
1^3/2 = 1
Então:
154 (31.6227766 - 1) = 154 times 30.6227766 approx 0.566195

Resposta

A integral de linha é aproximadamente .

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Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC y d s, C: x=t^3, y=t^2, 0 <= t <= 1