Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
m.
,
;
m.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial do tipo de segunda ordem. A gente tem a equação
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar tanto a solução da equação homogênea quanto uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, montamos a equação característica:
. Resolvendo para
, temos
. Essas raízes complexas indicam que a solução geral da parte homogênea será:
onde
e
são constantes que a gente vai determinar depois.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
e isso já está na solução homogênea, a gente precisa multiplicar por
para evitar duplicação. Então, tentamos:
onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Para encontrar
e
, calculamos as derivadas de
:
Substituindo
e suas derivadas na equação original
, simplificamos e igualamos os coeficientes para encontrar
e
. Fazendo isso, descobrimos que:
Então, a solução particular fica:
Passo 5
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Então,
.
Segundo, derivamos
para encontrar
:
Aplicando
:
Então,
.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Em cada um dos seguintes itens, primeiro verifique que as funções dadas
e
satisfazem a equação homogênea associada, depois encontre uma solução particular da equação não-homogênea dada, e, por último, escreva a respectiva solução geral.
g. ,
.
g.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
h. ;
h.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
a.
a.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
j. ;
j.