Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
b.
,
b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo aqui é de Equações Diferenciais Lineares. Vamos precisar entender como resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea. No final, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Temos uma raiz dupla
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito não é uma função simples, vamos usar o método de Variação de Parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
A solução particular será:
Onde
e
são funções que precisamos encontrar. Para isso, temos o sistema:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Onde
é o Wronskiano, calculado por:
Portanto:
Integrando:
Então, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, calculamos a derivada de :
Primeiro, calculamos a derivada de
Mas como
, simplificamos e substituímos
:
Resposta
A solução da equação diferencial dada com as condições iniciais é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
j. ;
j.
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
é o segmento de reta que junta
a