Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
b. y'' - 2y' + y = e^t / (1 + t^2), y(0) = 0, y'(0) = pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo aqui é de Equações Diferenciais Lineares. Vamos precisar entender como resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea. No final, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo por :
Resolvendo essa equação quadrática:
Temos uma raiz dupla . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o lado direito não é uma função simples, vamos usar o método de Variação de Parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
A solução particular será:
Onde e são funções que precisamos encontrar. Para isso, temos o sistema:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Onde é o Wronskiano, calculado por:
Portanto:
Integrando:
Então, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, calculamos a derivada de :
Mas como , simplificamos e substituímos :

Resposta

A solução da equação diferencial dada com as condições iniciais é:

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Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
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